噪聲調相連續波雷達統計主旁瓣比推導和分析

呂婧　顧紅　蘇衛民　薄超

(南京理工大學電子工程技術研究中心,南京 210094)

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噪聲調相連續波雷達統計主旁瓣比推導和分析

呂婧顧紅蘇衛民薄超

(南京理工大學電子工程技術研究中心,南京 210094)

摘要噪聲調相連續波雷達(Noise Phase Modulated Continuous Wave Radar, NPM-

CWR)脈壓輸出旁瓣表現為具有隨機特性的噪聲基底,通過對其統計規律的研究,推導了NPMCWR的統計主瓣均方旁瓣比(Statistical Mainlobe to Mean Square Sidelobe Ratio,SMMSSR)和統計主瓣峰值旁瓣比(Statistical Mainlobe to Peak Sidelobe Ratio,SMPSR)的數學表達式.分析了NPMCWR的脈壓輸出統計主旁瓣比與脈壓長度、目標多普勒、有效相移等參數之間的關系.數學表達式的計算結果與Monte-Carlo仿真結果很好地吻合,驗證了推導結論的正確性.

關鍵詞噪聲調相連續波;脈壓;主旁瓣比;噪聲雷達;多普勒

資助項目: 教育部博士點基金(20113219110018); 國家自然科學基金(61471198); 中國航天科技集團公司航天科技創新基金(CASC04-02)

聯系人： 顧紅 E-mail：guhong666@126.com

引言

隨機噪聲連續波雷達是一種以微波噪聲或噪聲調制信號為發射信號的雷達.發射信號的隨機性使得雷達具有“圖釘”形模糊函數,具有無模糊測距、測速性能,實現良好的距離、速度分辨力[1].另外,由于其同時具有優良的低截獲概率(Low Probability of Intercept, LPI)、電磁兼容能力(Electro Magnetic Compatibility, EMC)、電子反對抗(Electronic Counter-Countermeasures, ECCM)能力,在日益復雜的電磁環境下具有很好的應用價值,越來越受到人們的重視,被廣泛研究應用于監視雷達、合成孔徑雷達、防撞雷達、穿地探測雷達、穿墻雷達等領域[2-6].

常用的噪聲調制方式有噪聲調幅、噪聲調相、噪聲調頻.不同的調制方式和參數的選取會影響發射信號功率譜形狀、多普勒敏感性以及脈壓輸出主旁瓣比特性.工程實現時需根據目標特點結合發射信號特性,從雷達作用距離、調制帶寬、旁瓣要求等角度綜合考慮選擇調制方式和波形參數.隨機噪聲連續波雷達脈壓輸出主旁瓣比與脈壓長度、多普勒頻率、調制指數等參數的關系,對于雷達檢測的目標散射截面積(Radar Cross Section,RCS)和速度的動態范圍設計具有重要意義.相關方面的研究目前已有一些成果,如文獻[7]對噪聲調幅連續波雷達的脈壓主旁瓣比進行了推導分析.文獻[8]給出了噪聲調頻連續波的統計主旁瓣比的數學表達式.文獻[9-10]中給出了噪聲調相雷達相關輸出的表達式,并對相關輸出的旁瓣做了討論,但并未對主旁瓣比進行深入理論分析和仿真.文獻[11]推導了偽碼調相連續波雷達的主旁瓣數學表達式,但偽隨機信號仍具有周期性,不屬于隨機噪聲信號.上述文獻均未對噪聲調相連續波雷達的統計主旁瓣比進行深入討論.文中從噪聲調相連續波雷達(Noise Phase Modulated Continuous Wave Radar, NPMCWR)的相關輸出表達式入手推導了NPMCWR的脈壓輸出主瓣均方旁瓣比和主瓣峰值旁瓣比的數學表達式,對影響主瓣均方旁瓣比和主瓣峰值旁瓣比的參數進行了分析.由于發射信號是隨機信號,其旁瓣電平也是隨機的,只有通過統計指標描述其性能,所以文中推導的脈壓輸出主瓣均方旁瓣比和主瓣峰值旁瓣比應為統計值,分別稱之為統計主瓣均方旁瓣比(Statistical MainlobetoMeanSquareSidelobeRatio,SMMSSR)和統計主瓣峰值旁瓣比(Statistical Mainlobe to Peak Sidelobe Ratio,SMPSR).計算機Monte-Carlo仿真數據與理論推導結果能夠很好地吻合,驗證了文中結論的正確性.

1NPMCWR信號模型及脈壓處理

NPMCWR發射信號復數表達式為[12]

St(t)=Aexp{j[2πf0t+Kpme(t)]}.

(1)

調制高斯白噪聲e(t)的概率密度函數為

(2)

設調制噪聲e(t)通過低通濾波器后的帶寬為Be(t),噪聲調相信號St(t)的帶寬為B,則帶寬B的表達式為[12]：

當Kpmσn?1時,發射的NPMCW信號帶寬為

B=1.36KpmσnBe(t)；

(3)

當Kpmσn?1時,發射的NPMCW信號帶寬為

B=2Be(t).

(4)

St(t)=Aexp{j[2πf0t+θ(t)]}.

(5)

假設存在單點目標,以速度vr沿雷達徑向做勻速運動,初始時刻與噪聲調相連續波雷達的距離為R0,回波信號幅度為Ar,回波信號相對發射信號的延遲時間為tr,則噪聲調相連續波的回波信號復數表達式為

Sr(t)=Arexp{j[2πf0(t-tr)+θ(t-tr)]}.

(6)

(7)

回波信號按幀進行劃分,依次與各距離門延遲后的參考信號進行相關積累.每幀信號通常在時域劃分為若干個等長無重疊分段,分別對各分段進行脈壓,對同一個距離門的脈壓輸出沿段間慢時間進行傅里葉變換可得距離-多普勒二維信息.這里研究某分段脈壓輸出的統計特性,其脈壓處理框圖如圖1所示.

圖1　NPMCWR回波分段脈壓處理框圖

將發射信號以1/B為延遲單位,進行多級延時后作為參考信號,可表示為

Sc(t)=Acexp{j[2πf0(t-Tc)+θ(t-Tc)]}.

(8)

式中: Ac為參考信號的幅度; Tc為參考信號相對于發射信號的時延,且是1/B的倍數.

回波信號與參考信號的互相關即為NPMCWR的脈壓輸出結果,可表達為

(t-Tc)]}×exp{j[θ(ξr(t-Tr))-

θ(t-Tc)]}dt

=ArAcexp[j2π(f0τ-fdTr)]×

Tr))-θ(t-Tc)]}dt.

(9)

式中: fd=f0ξd; τ=Tc-Tr; *表示復共軛; TN為噪聲調相連續波雷達信號某段的相關積累時長.當Tc=Tr時,脈壓輸出為白噪聲背景下的最佳線性濾波器輸出,即脈壓輸出峰值.

為使信號處理時間內不產生距離門走動,脈壓時長和目標速度應滿足vrTN

2統計主瓣均方旁瓣比

噪聲調相連續波信號是隨機過程,對其各指標的性能需從統計層面研究.NPMCWR回波相關輸出的均值表達式為

ER(τ)=〈R(τ)〉=ArAcexp[j2π(f0τ-fdTr)]×

jθ(t-Tc)]〉dt.

(10)

令Δt=ξdt+τ-ξdTr,由二變量高斯分布的特征函數可得[13]

〈exp[jθ(ξr(t-Tr))-jθ(t-Tc)]〉

(11)

由于目標速度vr?c,可認為ξd近似為零,則相關系數ρ(Δt)≈ρ(τ),將式(11)代入式(10),相關輸出均值表達式改寫為

ER(τ)=ArAcexp[j2π(f0τ-fdTr)]·

(12)

將式(12)進一步求解得

exp[j2π(f0τ-fdTr)]·exp(πfdTN)·

(13)

帶限高斯白噪聲e(t)的統計功率譜密度(PowerSpectralDensity,PSD)形狀為矩形,根據Wiener-Khinchine定理,基帶調制噪聲e(t)的PSD傅里葉逆變換為其自相關函數,表達式為

(14)

式中: Be(t)是高斯白噪聲的帶寬; τ為相關延遲.

2) τ≠0,即Tr≠Tc,此時ER(τ)為相關輸出統計旁瓣.

噪聲調相連續波雷達相關輸出的統計均方表達式為

〈|R(τ)|2〉=〈R(τ)R*(τ)〉

〈exp{j[θ(ξr(t1-Tr))-θ(t1-

Tc)-θ(ξr(t2-Tr))+θ(t2-

Tc)]}〉dt1dt2.

(15)

〈exp{j[θ(ξr(t1-Tr))-θ(t1-Tc)-

θ(ξr(t2-Tr))+θ(t2-Tc)]}〉

=〈exp{j[θ1-θ2-θ3+θ4]}〉

ρ23-2)].

(16)

將式(16)代入式(15)得

ρ24+ρ34-ρ14-ρ23-2)]dt1dt2.

(17)

式(17)中的相關系數表達式為:

ρ12=ρ(ξr(t1-Tr)-(t1-Tc))

=ρ(ξdt1+τ-ξdTr);

ρ13=ρ(ξr(t1-Tr)-ξr(t2-Tr))

=ρ(ξr(t1-t2)),

ρ24=ρ((t1-Tc)-(t2-Tc))=ρ(t1-t2);

ρ34=ρ(ξr(t2-Tr)-(t2-Tc))

=ρ(ξdt2+τ-ξdTr);

ρ14=ρ(ξr(t1-Tr)-(t2-Tc))

=ρ(ξrt1-t2+τ-ξdTr);

ρ23=ρ((t1-Tc)-ξr(t2-Tr))

=ρ(t1-ξrt2-τ+ξdTr).

由于目標速度vr?c,ξr≈1,ξd≈0, 式(17)中相關系數簡化為ρ12≈ρ(t),ρ13≈ρ(t1-t2),ρ24≈ρ(t1-t2),ρ34≈ρ(τ),ρ14≈ρ(t1-t2+τ),ρ23≈ρ(t1-t2-τ), 式(17)可改寫為

2ρ(t1-t2)-ρ(t1-t2+τ)-

ρ(t1-t2-τ)-2]}dt1dt2.

(18)

ρ(x+τ)-ρ(x-τ)-2)]dxdy+

ρ(x+τ)-ρ(x-τ)-2)]dxdy

ρ(x+τ)-ρ(x-τ)-2)]dx+

ρ(x+τ)-ρ(x-τ)-2)]dx

2ρ(x)-ρ(x+τ)-ρ(x-τ)-

2)]dx.

(19)

雷達數字信號處理的采樣間隔為ts,相關延遲τ的延遲單元為1/B,脈壓器相關積累時長TN=Nts,令|V(τ)|2=〈|R(τ)|2〉,則相關輸出的統計均方表達式(19)的離散形式可寫為

|V(τ)|2=〈|R(τ)|2〉

exp[j2πfd(nts)]×

ρ(nts+τ)-ρ(nts-τ)-2]}ts.

(20)

(21)

調相連續波雷達統計均方主旁瓣比RSMMSS表達式可表示為

(22)

式中

2ρ(nts)-ρ(nts+τ)-ρ(nts-τ)-

表示對觀測距離門內的脈壓輸出旁瓣求統計均方值.由式(22)可知,統計均方主旁瓣比和目標回波延遲Tr無關,而與目標多普勒頻移fd,相關積累時長TN,有效相移Kpmσn有關.

3統計主瓣峰值旁瓣比

假設目標速度vr?c,則ξr≈1,將式(12)、式(18)代入脈壓輸出旁瓣的方差計算中,可得方差表達式為

ρ(t1-t2+τ)-ρ(t1-t2-τ)-2)]-

(23)

令x=t1-t2,y=t2,由Jacobi式|J|=1,對式(23)做二變量代換化簡后得

ρ(x+τ)-ρ(x-τ)-2)]-

(24)

參考式(9),接收濾波器相關輸出的離散表達式可表示為

R(τ)≈ArAcexp[j2π(f0τ-fdTr)]·

Tr)-e(nts-Tc)]}·ts.

(25)

式中:e(nts-Tr),e(nts-Tc)均為高斯噪聲;e(nts-Tr)-e(nts-Tc)仍為高斯噪聲.τ≠0時,R(τ)輸出為旁瓣,由中心極限定理可知,此時R(τ)的旁瓣是若干獨立同分布的隨機變量之和,R(τ)的旁瓣概率分布是趨于正態的.

圖2中虛線為以旁瓣實部、虛部的均值和方差為參數的正態分布概率密度曲線.可見,R(τ)旁瓣的實部和虛部的概率分布特性均近似服從正態分布.由于是單次實驗,且樣本容量有限,因此是近似服從正態分布,應允許出現少許偏差.進行1 000次Monte-Carlo實驗,得到每次實驗旁瓣實部、虛部的均值和方差,再求統計平均,可得旁瓣實部、虛部的統計均值均為0;旁瓣實部的統計方差為22.59、虛部的統計方差為22.56,近似相等.

(a) 旁瓣實部

(b) 旁瓣虛部圖2　脈壓輸出旁瓣的實部、虛部的統計直方圖

=a+bj.

(26)

式中實部a和虛部b分別服從標準正態分布,且統計獨立,令V=|a+bj|2=a2+b2, 則隨機過程V服從自由度為2的χ2分布,V的概率密度為

(27)

R(τ)旁瓣峰值近似服從均勻分布,單個距離門延遲Δτ=1/B,若觀測的總距離門數為P,則相關輸出旁瓣峰值僅出現在P-1個距離門上,且近似服從均勻分布,其概率密度為1/(P-1),則旁瓣峰值出現的概率密度為

(28)

(29)

當τ≠0時,相關輸出旁瓣近似服從正態分布,其均值ER(τ)近似為零,則有峰值旁瓣的能量

(30)

可得統計峰值主旁瓣比RSMPS表達式為

(31)

式中

ρ(x+τ)-ρ(x-τ)-2)]-

由式(31)可知,統計峰值主旁瓣比亦和目標回波延遲Tr無關,而與目標多普勒頻移fd,相關積累時長TN,有效相移Kpmσn有關.

4仿真與分析

1) 目標靜止,與雷達徑向距離10km,觀測距離門數P=1 001,脈壓點數N=50×2i,其中i=0,1,2,…,9.對SMMSSR和SMPSR隨脈壓點數的變化進行1 000次Monte-Carlo實驗的仿真結果和公式推導的式 (22)、式(31)的理論結果對比如圖3所示.

(a) 統計主瓣均方旁瓣比(SMMSSR)

(b) 統計主瓣峰值旁瓣比(SMPSR)圖3　SMMSSR和SMPSR與脈壓點數N的關系

雷達系統的時寬帶寬積為B·Nts=N/2,圖3中橫坐標表示的脈壓點數的一半即為時寬帶寬積.當時寬帶寬積每增加一倍時,SMMSSR增加3dB左右,SMPSR增加2.5dB左右,其中SMMSSR的仿真結果和理論計算幾乎完全重疊,而SMPSR隨著脈壓點數的增加,仿真結果和理論結果趨于一致.由于旁瓣峰值計算中用到了旁瓣近似高斯分布特性,當脈壓點數越少時,該近似分布與高斯分布誤差越大,而隨著脈壓點數的增加,分布越來越接近高斯分布,因而理論結果與仿真結果更加吻合.

2) 200點、400點、800點脈壓長度時,分析目標運動產生的多普勒變化對SMMSSR和SMPSR的影響, 1 000次Monte-Carlo實驗的仿真結果和根據公式推導的式(22)、式(31)的理論計算結果進行對比.

當TN=1/fd時,脈壓時長為目標多普勒周期,相關輸出已無法得到峰值.因此仿真中取最大多普勒頻移fdmax=0.95/TN,仿真步進為0.05fdmax,200點、400點、800點脈壓時長時的理論和仿真如圖4所示.

(a) 統計主瓣均方旁瓣比(SMMSSR)

(b) 統計主瓣峰值旁瓣比(SMPSR)圖4　同脈壓時長SMMSSR和SMPSR與歸一化多普勒頻率的關系

圖4中200點、400點、 800點脈壓時SMMSSR和SMPSR的Monte-Carlo仿真結果和公式推導的理論結果平均誤差如表1所示.

表1　不同脈壓時長時SMMSSR和SMPSR的仿真結果和理論結果的平均誤差值

由表1可知,隨著脈壓點數的增加,SMMSSR的仿真結果和理論結果的平均誤差略有增加,而SMPSR的仿真結果和理論結果的平均誤差有較明顯的改善.整體上SMMSSR誤差小于0.3dB,SMPSR誤差小于1dB,仿真結果與理論結果能很好地吻合.

對比偽碼調相連續波雷達可知[11],目標運動產生的多普勒遠小于雷達最大可測多普勒fdmax時,噪聲調相連續波雷達對多普勒的敏感性小于偽碼調相連續波雷達,而當目標運動產生的多普勒接近雷達最大可測多普勒fdmax時,噪聲調相連續波雷達對多普勒的敏感性高于偽碼調相連續波雷達.

3) 有效相移Kpmσn對主旁瓣比的影響

噪聲調相連續波雷達的脈壓時長不變時,Kpmσn取π,2π,4π的SMMSSR和SMPSR見表2.可知增大Kpmσn即增加發射信號帶寬,帶寬每增加一倍,SMMSSR近似增加3 dB,SMPSR近似增加2.5 dB,且理論和仿真基本吻合.

表2　不同Kpmσn積時SMMSSR和SMPSR的仿真結果和理論值

4)BT積對主旁瓣比的影響

假設目標靜止,與雷達徑向距離為10 km, 發射信號帶寬與脈壓時長之積即BT保持不變,其值為200時,有效相移Kpmσn不同時理論和仿真結果如表3所示,表中SMMSSR和SMPSR的理論和仿真值基本一致.且由表3可見噪聲調相連續波雷達BT積相同時,輸出SMMSSR和SMPSR幾乎一致.

表3　BT積不變時SMMSSR和SMPSR的仿真結果和理論值

5結論

本文通過對NPMCWR脈壓輸出主旁瓣統計規律的研究,推導了噪聲調相連續波雷達脈壓輸出的SMMSSR和SMPSR的數學表達式,為定量分析NPMCWR脈壓輸出主旁瓣比與脈壓長度、多普勒頻率、有效相移等參數的關系提供了理論依據.結果表明,SMMSSR和SMPSR均與目標回波延遲Tr無關,而與目標多普勒頻移fd、相關積累時長TN、有效相移Kpmσn有關.SMMSSR和SMPSR均與NPMCWR的時寬帶寬積BT成線性關系,當BT積不變時,改變相關積累時長TN和有效相移Kpmσn的值,輸出主旁瓣比不變.數學表達式的計算結果與Monte-Carlo仿真結果很好地吻合,驗證了推導結論的正確性.

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呂婧(1984-),女,江蘇人,南京理工大學電子工程與光電技術學院博士研究生,研究方向為隨機噪聲雷達信號處理.

顧紅(1967-),男,江蘇人,南京理工大學教授,博導,主要研究方向為噪聲雷達和稀疏陣列信號處理.

蘇衛民(1959-),男,江蘇人,南京理工大學教授,博導,主要研究方向為陣列信號處理和雷達成像.

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Derivation and analysis of statistical mainlobe to sidelobe ratio

of the noise phase modulated continuous wave radar

Lü JingGU HongSU WeiminBO Chao

(ResearchCenterofElectronicEngineeringTechnology,NanjingUniversityof

ScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

AbstractThe sidelobes of pulse compression of noise phase modulated continuous wave radar (NPMCWR) are shown as a noise floor with random characteristic. The mathematical expressions of statistical mainlobe to mean square sidelobe ratio(SMMSSR) and statistical mainlobe to peak sidelobe ratio (SMPSR) are deduced. The relationships between the mainlobe to sidelobe ratio and some parameters such as pulse compression length, Doppler frequency and effective phase shift are analyzed. The results calculated by the mathematical expressions are close to the Monte-Carlo simulation results so that verify the correction of the deduction results.

Key wordsnoise phase modulated continuous wave; pulse compression; mainlobe to sidelobe ratio; noise radar; Doppler

作者簡介

收稿日期：2014-10-19

中圖分類號TN957

文獻標志碼A

文章編號1005-0388(2015)06-1048-09