GM（1,1）預測模型在產品銷售預測中的運用

江玉杰

（三江學院商學院，江蘇南京210000）

GM（1,1）預測模型在產品銷售預測中的運用

江玉杰

（三江學院商學院，江蘇南京210000）

企業要想在同質化市場上提高競爭力，必須及時地預測產品銷量，以便快速應對市場變化。基于灰色系統理論的GM（1,1）預測模型具有對數據要求限制少、預測精度高等特性，特別適合產品銷量的預測。本文以FM公司礦泉水為例，詳細地闡述G(1,1)預測銷售量的全過程，這對相關人士具有重要的參考價值。

GM（1,1）預測模型；銷售量預測；模型函數；精度檢驗

當今社會，消費者的需求日益呈現個性化、多樣化、特殊化，使得同質化市場的競爭更加激烈。因此，企業要想在同質化市場上增強產品競爭力，在提高產品質量、改進產品包裝以及完善售后服務的同時，必須及時地把握市場變化，以便合理的規劃有限的人力、物力、財力，進而提高企業的核心競爭力。而銷售預測是這一過程中重要的環節。銷售預測是指預測者根據以往的銷售情況以及所采用的預測模型對未來銷售情況所做的預測。其目的是通過銷售預測，實現以銷定產、及時生產，降低交貨提前期、產品庫存率，提高交貨能力、服務水平。

基于灰色系統理論的GM（1,1）預測模型是通過對原始時間序列進行累加生成能夠把原先時間序列不顯著的變化趨勢轉變為具有顯著的變化趨勢，從而挖掘出時間序列的內在規律，然后建立預測模型，最后通過累減還原進行預測。現如今GM（1,1）預測模型在經濟管理、環境科學、工農業生產、圖像信息、航空航天等領域得到了廣泛的運用，解決了許多過去難以解決的實際問題，展示了極為廣泛的應用前景。

本文運用GM（1,1）預測模型詳細地闡述預測FM公司礦泉水未來年度銷售量的全過程，為初學者、預測者、決策者深入地理解G(1,1)預測模型原理具有重要的參考價值。

1 GM（1,1）預測模型概述

在GM（1,1）預測模型中，G是Grey縮寫，表示灰色；M是Model的縮寫，表示模型；（1,1）分別表示1階方程、1個變量。通常，GM（1,1）預測模型適用于時間序列無明顯趨勢，通過累加的方式可生成有明顯趨勢的時間序列情形。

設 原 始 時 間 序 列 x（0）=｛x（0）（1）,x（0）（2）,…x（0）（n）｝，其 1 次 累 加 生 成 序 列 為其中

由于新生成序列x（1）一般近似地服從指數規律，GM（1,1）預測模型的白化形式的一階常微方程為：

式中：a稱為發展灰數，b稱為內生控制灰數，a、b均為待估參數。對于待估參數a、b，可采用最小二乘法求解，其估計值為：

其中，數據矩陣B、數據向量Y由下面公式確定：

2 礦泉水年度銷售量預測

表1第3列所示數據是FM公司礦泉水近8年來的年度銷售量。該公司預測者需要根據近8年的數據，預測出2015年、2016年的年度銷售量，以便及時地應對礦泉水市場的變化、改進礦泉水市場營銷策略。

通常，運用 G(1,1)預測模型建立預測函數時，需要進行以下步驟：①數據檢驗與處理；②建立模型函數；③精度檢驗及預測。

2.1 數據的檢驗與處理

為了保證 GM（1,1）建模的可行性，首先需要對已知數據進行級比檢驗。設原始時間序列x（0）=｛x（0）（1）,x（0）（2）,…x（0）（n）｝，則計算序列的級比公式為：

根據表1第3列數據，可建立建立原始時間序列x（0），其表達式為：

2.2 建立模型函數

表1 FM公司礦泉水歷年銷售量單位：百萬瓶

在構建GM（1,1）時，需要采用累加方式對原始數據進行生成處理，使生成序列變成有規律的序列。累加方式就是通過序列間各時刻數據的依次累加得到新的數據與序列。累加前的序列稱為原始序列，累加后的序列稱為生成序列。根據表1第3列數據，可得到基于FM礦泉水年銷售量的生成序列x（1），其表達式為：

運用最小二乘法求解待估參數a、b。將數據矩陣B、數據向量Y計算值代入公式一，可就得待估參數向量：

2.3 精度檢驗及預測

2.3.1 精度檢驗

產品銷量預測就是借助于過去的數據去推斷、預測未來的銷售量。基于灰色理論的 G(1,1)預測模型就是通過原始數據的處理和灰色模型的建立，發現、掌握系統發展規律，對系統未來狀態做出相對客觀的定量預測。因此，在建立起模型函數之后，必須檢驗模型函數的可信程度，根據需要進行必要的修正。在模型函數精度未達到一定標準前，不可進行實際銷量預測。

一般地，當∣a∣≤2時，G(1,1)預測模型有意義。但隨著a的取值不同，模型預測效果也不同。通常，當-0.3≤a≤2時，GM（1,1）預測模型可用于中長期預測；當-0.5≤a＜-0.3時，GM（1,1）預測模型可用于短期預測，中長期預測慎用；當-0.8≤a＜0.5時，用 GM（1,1）預測模型做短期預測應十分謹慎；當-1≤a＜-0.8時，應采用殘差修正GM（1,1）預測模型；當-2≤a＜-1時，不宜采用GM（1,1）預測模型。根據前文可知，FM公司礦泉水近8年銷售量的預測模型函數中a為-0.0861，使得所建模型可用于中長期預測。

通常，檢驗灰色 G(1,1)預測模型的精度的方法有4種，即殘差檢驗、關聯度檢驗、級比偏差檢驗以及后驗差檢驗，而一般以殘差檢驗和后驗差檢驗應用最為普遍。所以，本文針對FM公司礦泉水銷量所建的預測模型函數采用殘差檢驗、后驗差檢驗兩種方法檢驗其精度。

殘差檢驗就是以相對誤差占觀察值的比例大小來衡量模型函數的好壞，通常以相對殘差指標來反映模型函數的預測精度。如果預測值與觀察值之間的誤差較大，則不能以此模型進行預測，必須采用一定方式來提高模型函數精度。相對殘差計算公式：

后驗差檢驗法是按照后驗差比值C、小誤差概率P兩個指標來評定模型精度等級。其等級標準如表3所示。后驗差比值C越小，則說明殘差序列方差小，原始序列數據方差大，此時殘差集中度高，擺動幅度小；小誤差概率P越大，則說明殘差與殘差算術平均數的絕對值小于給定值的點較多，所以C值越小、P值越大，其模型函數預測精度就越高。如果后驗差檢驗發現 GM（1,1）模型預測精度等級為不合格，那么可以進行殘差修正的GM（1,1）模型。

表2 殘差檢驗精度表

表3 預測精度等級表

計算后驗差比值C、小誤差概率P兩個指標的步驟如下：

第三步：計算后驗差比值C、小誤差概率P

顯然，根據計算結果可知，后驗差比值C、小誤差概率P滿足預測精度一級標準：P＞0.95、C＜0.35。因此可以認為所建G(1,1)預測模型函數預測力強。

2.3.2 預測銷售量

基于模型函數通過精度檢驗，所建模型函數可用于外推預測。分別將k=9、k=10代入所建G（1,1）預測模型函數：

3 結論

灰色理論是以“部分信息已知、部分信息未知”的小樣本、“貧信息”為研究對象，通過對部分已知信息的挖掘，提取有價值的信息，實現對研究對象發展規律的正確的把握。而GM（1,1）預測模型是灰色預測理論中最為核心的部分。由研究所建立的 GM（1,1）預測模型函數可知，FM公司礦泉水銷售量在中長期內還會保證相對穩定的增長速度。這樣預測結論對于FM公司的長期規劃具有重要的參考價值。

[1]陳華友.組合預測方法有效性理論及其應用[M].北京:科學出版社，2008:28-32.

[2]李家會.灰色預測模型在產品銷售預測中的應用[J].科技信息，2014(11)：93-94.

[3]段鋒,楊芬.灰色預測模型的研究及應用[J].湘南學院學報，2008(02)：17-20

（責任編輯：田犇）

On the Application of GM (1,1)Prediction Model in Product Sales

JIANG Yu-jie
(Business School,Sanjiang University,Nanjing Jiangsu 210000,China)

F272.1

B

1674-2346(2015)02-0036-06

2015－01－30

江玉杰，男。研究方向：市場營銷（物流管理）

10.3969/j.issn.1674-2346.2015.02.008