基于ARIMA模型對恒生指數的實證分析

祁筠超

摘 要：恒生指數由恒生指數服務有限公司負責計算及發布，于1969年1月24日正式公開發布。其自推出以來， 一直被廣泛視為香港股票市場乃至整個香港經濟發展的指標。而作為一個重要的離岸金融市場，香港的經濟一直倍受關注。對此，文章選用經典時間序列模型ARIMA模型對2012年5月1日起，到2014年5月31日共兩年105個周數據，利用SAS軟件進行時間序列分析，并基于擬合結果ARIMA（0，2，1）對恒生指數進行進一步的短期預測，從而為進一步分析未來股市的發展變化提供依據。

關鍵詞：ARIMA模型 恒生指數（HSI） SAS 實證分析

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2014）08-108-03

一、恒生指數

（一）恒生指數概念

恒生指數是以香港股票市場中的33家上市股票為成分股樣本，以其發行量為權數的加權平均股價指數。該指數由香港恒生銀行全資附屬的恒生指數服務有限公司編制并發布，于1969年11月24日首次公開發布，基期為1964年7月31日，基期指數定為100。恒生指數是香港股市價格的重要指標，指數共有若干只成份股（即藍籌股）市值計算出來的，代表了香港交易所所有上市公司的70%市值。

1985年1月2日，恒生指數增加4只分類指數，把33只成份股以行業分為4個分類：

恒生金融分類指數

恒生公用事業分類指數

恒生地產分類指數

恒生工商業分類指數

（二）計算方法

今日恒生指數的計算公式如下：

Current Index= ×Yesterdays Closing Index

其中，

Current Index：現時指數

Yesterday's Closing Index：上日收市指數

P（t）：現時股價

P（t-1）：上日收市股價

IS：已發行股票數量

FAF：流通系數

CF：比重上限系數

四個分類指數的計算方法及公式與恒生指數相同。

（三）選股原則

恒生指數成份股的選取原則如下：

1.按股票市值大小選擇，必須屬于占聯交所所有上市普通股份總市值90%的排榜股票之列（市值指過去12個月的平均值）。

2.按成交額大小選擇，必須屬于占聯交所上市所有普通股份成交額90%的排榜股票之列（成交額乃指過去24個月的成交總額）。

3.必須在聯交所上市滿24個月以上。

根據以上標準初選出合格股票后，再按以下準則最終選定樣本股：

（1）公司市值及成交額之排名。

（2）四個分類指數在恒生指數內各占的比重需大體反映市場情況。

（3）公司在香港有龐大業務。

（4）公司的財政狀況。

二、ARIMA（p，d，q）的建立

（一）AR（p）模型

AR（p）模型稱為p階自回歸（auto regression）模型，其數學表達式如下：

Xt=фu+ф1Xt-1+ф2Xt-2+…+фpXt-p+εt

其中，фp/0且隨即干擾序列{εt}為零均值白噪聲序列。AR（p）模型說明序列當前值是由此前p項的序列值與當前隨機干擾項共同影響形成的。

（二）MA（q）模型

MA（q）模型稱為q階移動平均（moving average）模型，其數學表達式如下：

Xt=μ+εt-θ1εt-1-θ2εt-1-…-θqεt-p

其中，θq/0且隨即干擾序列{εt}為零均值白噪聲序列。MA（q）模型說明序列當前值是由此前q項的隨即干擾項與當前隨機干擾項共同影響形成的。

（三）ARMA（p，q）模型

ARMA（p，q）模型稱為自回歸移動平均（auto regression moving average）模型，其數學表達式如下：

Xt=фu+ф1Xt-1+ф2Xt-2+…+фpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-1-…-θqεt-p

事實上，AR（p）模型和MA（q）模型均為ARMA（p，q）模型的特例。ARMA（p，q）模型為AR（p）模型和MA（q）模型的有機結合。

（四）ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA（p，d，q）模型稱為求和自回歸移動平均（autoregressive integrated moving average）模型，其數學表達式如下：

ф（B）VdXt=θ（B）εt

其中，Vd=（1-B），ф（B）為平穩可逆ARMA（p，q）模型的自回歸系數多項式，θ（B）為平穩可逆ARMA（p，q）模型的移動平滑系數多項式。

可以看出，ARIMA模型的實質就是差分運算與ARMA模型的組合，故我們可以對差分平穩序列進行ARMA擬合。

（五）ARIMA（p，d，q）模型的建立步驟

利用ARIMA模型對觀察序列建模遵循以下步驟：

1.獲得觀察值序列：本文采用恒生指數2012年5月1日-2014年5月31日，數據來自網絡。

2.判斷序列平穩性：對原始數列做時序圖，直觀判定原序列平穩性。

3.對原序列進行差分運算，并對差分后的序列做其自相關圖，進一步判斷平穩性。

4.對平穩差分序列進行白噪聲檢驗，確認差分序列還蘊涵不容忽視的相關信息可供提取。endprint

5.對平穩的非白噪聲差分序列擬合ARMA模型，根據序列自相關圖與偏自相關圖選擇合適的ARMA模型，利用條件最小二乘估計法進行估計。

6.根據AIC、SBC準則對擬合的ARMA模型進行優化。

7.根據最終選定的ARMA模型進行短期預測。

三、對恒生指數的實證分析

（一）HSI原始數據的時序圖

利用SAS軟件gplot過程步做恒生指數周數據時序圖如下：

（二）對HSI原始數據做差分運算，并判斷其平穩性

對原始數據做二階差分，結果如下圖：

時序圖沒有明顯的非平穩特征，進一步考察其自相關圖及偏自相關圖，結果如下：

根據自相關圖及偏自相關圖判定，差分后的序列平穩，可以選取ARMA模型進行擬合。

根據自相關系數一階截尾，偏自相關系數拖尾的特點將模型定為MA（1）模型。

（三）利用條件最小二乘法擬合模型

利用條件最小二乘法擬合MA（1）模型，結果如下圖：

可以看出，模型整體顯著，可以較好地擬合原序列。

其最后模型為：

輸出結果顯示，序列的擬合模型為ARIMA（0，2，1）模型。

（四）利用AIC、SBC法則優化模型

AIC、SBC法則是常用的判定模型優劣的標準，其數值越小，模型精確度越高，利用SAS軟件結果如下：

可以看出，MA（1）模型已為最優模型。

（五）利用模型進行短期預測

利用模型做4期（未來一月）預測，結果如下：

四、結論

本文對恒生指數采用了時間序列分析法，以2012年5月1日到2014年5月31日的周恒生指數收盤價格為數據進行了實證研究，得出如下近似關系：

Xt=εt-0.92814εt-1

上式表明了各恒生指數間的定量關系，并可利用它對恒生指數進行短期預測，并為進一步分析未來股市的變化發展提供了借鑒。

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（作者單位：湖南大學 湖南長沙 410079）

（責編：賈偉）endprint