平移不變小波變換在脈搏波去噪中的應用

王泰琨，張海英，張以濤，張 俊，耿興光

(1.中國科學院微電子研究所 健康電子研發中心，北京 100029；2. 中科院物聯網中心，江蘇 無錫 214000；3.新一代通信射頻芯片技術北京市重點實驗室，北京 100029；4.中國科學院大學 微電子學院，北京 101400)

0 引言

“脈搏波”可以理解為“動脈血管搏動引起的皮膚表面可檢測到的波動”，即心臟的搏動沿著動脈血管和血流向外周進行傳播，從而引起的一種波動的信號，其頻率或周期反映了人體多個方面的生理情況。研究表明，脈搏波的信號具有一些較為明顯的特征，并且這些特征與心血管系統之間具有十分密切的聯系[1]，一直以來，無論是國內還是國外醫學界，中醫理論還是西醫理論，都十分重視脈搏波信號特征中所反映的人體的生理病理信息，并將其列為臨床預防、診斷和治療疾病的檢查手段之一。脈搏波是一種異常微弱且不平穩的生理信號, 非常容易受到各方面因素的影響。影響的因素主要包括動脈血管的管壁彈性、管口直徑大小、血管壁厚度和血液的粘稠度(包括密度和粘性)。醫護工作人員根據這些內在聯系，將得到的脈搏波信號進行“抽絲剝繭”，依靠這些信號來為患者診斷。除上述影響因素之外，脈搏波的信號也很容易受到工頻噪聲干擾的影響，這些噪聲引起的干擾使脈搏波信號不能夠準確地反映患者的生理病理狀況，為醫生的診斷帶來一定程度的影響。綜上，為使脈搏波信號可以反映受檢人員的真實情況，在測量和記錄表面肌電信號時應當盡量消除噪聲干擾的影響[2]。

在信號分析處理領域中，傅里葉變換一直處于遙遙領先的地位，其在平穩信號分析中的表現十分出色，是處理平穩信號的有效手段。但是對于脈搏波這種非平穩信號而言，傅里葉分析顯然并不能繼續發揮其優良性能。隨著科學技術的革新，近十來年人們在傅里葉分析的基礎之上逐步研究出一種適用于非平穩信號的分析方法——小波分析法。到目前為止，小波分析理論在信號分析處理的領域已經得到了大范圍的認可。小波分析理論常用的去噪方法主要包括傳統的硬閾值小波去噪法和軟閾值小波去噪法。其中，硬閾值小波去噪法能夠很好地保留脈搏波信號中細節的特征性，但是由于脈搏波信號是一種非平穩信號，信號的重構會出現不連續性，因此利用這種傳統方法處理會在信號的奇異點出現一種上下跳動的現象，也就是偽吉布斯現象[3]。平滑處理是數據分析中一類重要和常用方法。平滑處理的目的在于既保留資料中的主要有用信號，又消除或削弱隨機誤差[4]。而軟閾值小波去噪法利用這種思想雖然能夠克服硬閾值小波去噪法的缺點，抑制偽吉布斯現象，但是會使信號過度平滑，也不利于脈搏波信號提取后的再處理分析。

本文擬采取一種全新的小波去噪方法——平移不變的新閾值小波去噪法。該方法可以在有效抑制偽吉布斯現象的同時提高信噪比。平移不變的新閾值小波去噪法是對傳統小波變換在脈搏波信號處理領域的探索改進和應用，本文將通過仿真實驗、分析整理、歸納對比等方法來說明該算法的實用性和先進性。

1 小波閾值去噪的基本原理和方法

1.1 小波除噪的基本原理

小波分析和傅里葉分析雖然同根同源但是仍然存在著較大的差異：傅里葉分析是處理平穩信號的常用方法，小波分析則更適用于處理非平穩信號。小波分析通過對空間和頻率做局部的變換來提取信號中的不穩定信息，該分析方法處理的核心是對信號進行平移和壓縮，因此可以對信號進行更多尺度的分析。

小波分析方法去除信號噪聲的流程具體如下：

(1)小波變換：選擇一種適合的小波基及分解層次，并對含有白噪聲的原始信號進行逐級分解，從而得到各級的小波系數數列。

(2)小波系數量化處理：預先設置一個閾值處理函數，并通過該處理函數將預估的噪聲部分進行處理，得到一組新的小波系數數列。

(3)小波重構：對逐級分解得到的小波系數的數列進行小波逆變換，繼而得到去噪后的脈搏波信號。

1.2 傳統閾值處理函數

如何選取合適的閾值和如何量化處理閾值是閾值去噪的兩大核心步驟。去噪處理后的波形應該盡可能地保留原始信號的細節特征。早在20世紀末，Donoho等人就以小波變換的思想為研究基礎進一步優化了去噪方法，提出了小波變換硬閾值和軟閾值的去噪方法[5-6]。硬、軟函數分別如式(1)、式(2)所示：

(1)

(2)

圖1 硬閾值函數

圖2 軟閾值函數

如圖1所示，硬閾值去噪得到的信息更多保留了原始的信號數據，如更多原始信號數據的尖峰信息，但是同時也存在連續性差的缺點。連續性差會使硬閾值函數在某些點上出現間斷，而且在去噪重構后也會使信號產生吉布斯振蕩。這種震蕩現象在原始的信號數據中并不存在，是在人為的去噪處理過程中引入的外部干擾。圖2中軟閾值去噪時雖然得到的信號相對連續平滑，但當|ωj,k|≥λ時，并不能體現出信號的實際數據，即估計值與實際值之間會存在一個恒定不變的差值[7]。

1.3 新閾值處理函數

為了克服上述兩種閾值的缺陷，在保證去噪時小波系數在小波空間的連續性的同時盡可能地降低小波系數的偏差，本文提出了一種新的閾值函數，如式(3)所示:

(3)

圖3 新閾值函數

圖4 新閾值函數(j=1,2,3)

2 平移不變小波變換

本文提出的平移不變小波去噪法是以閾值去噪法為基礎進一步優化算法得來的，可以很好地抑制偽吉布斯現象。平移不變小波變換的基本原理是在一定范圍內將噪聲信號進行多次的循環平移，完成噪聲處理后，再進行逆循環平移對結果平均。平移不變小波去噪的具體步驟如下[8]：

(1)對時域信號x平移h個單位：

Sh(x)=x(t+h)

(4)

(2)對第一次循環平移后得到的信號做離散小波變換處理，并對閾值進行去噪處理。所得的重構信號為：

M1(x)=S-h(T(Sh(x)))

(5)

(3)再對每次步驟(2)所得的結果進行平均處理。無限次(N)循環平移的平移不變小波去噪可以用下式來表達：

(6)

其中Fi(x)為第i個點進行平移不變小波變換去噪處理后的計算值。由上述公式可以看到，該值是對前面所有的去噪結果進行平均處理后得到的。循環平移的處理方法可以用于解決復雜信號(包含多個奇異點)的去噪。

3 實驗與結果

3.1 降噪效果評價標準

基于平移不變量的新閾值去噪方法在脈搏波信號去噪中的表現良好，為了將這種優勢描述得更加具體，本文將采用常用的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)兩個參數為基準進行評價。引入的信噪比和均方根誤差的定義如下：

(7)

(8)

3.2 仿真實驗及性能分析

基于脈搏波信號的變化特點，本文采用MIMIC II Waveform DB v2數據庫，截取a44579m的一段較為純凈的長1 h的信號，去除基線后作為原信號，采樣率為125 Hz，分別添加信噪比為1 dB、3 dB、5 dB、7 dB的高斯白噪聲進行混合，作為幾種去噪方法的源信號。實驗的應用平臺為MATLAB R2016b, 選用db6小波，分解層數為4層，對比硬閾值去噪、軟閾值去噪、采用本文的新閾值去噪和采用新閾值同時采用平移時不變小波去噪4種方法的去噪效果，結果如圖5所示。

圖5 4種方法去噪后的信號SNR對比

如圖5所示，在加入SNR為5 dB的高斯白噪聲情況下，新閾值方法去噪后信號明顯要比硬閾值和軟閾值方法清晰且與原信號的時序特征更加相近。

表1和表2是計算4種去噪方法的信噪比和均方根誤差。

表1 4種方法去噪后的信號SNR對比

表2 4種方法去噪后的信號和原信號RMSE對比

表1表2印證了前文結論，證明脈搏波信號在高斯白噪聲SNR為1～7的情況下，硬閾值、軟閾值、本文所述新閾值、新閾值結合平移時不變小波的去噪效果是依次遞增的，在噪聲SNR=7 dB時，采用平移時不變小波的新閾值小波去噪效果理論上甚至可以達到14 dB。在信噪比很低的情況下，新閾值和結合平移時不變方法能更大程度地還原信號。

3.3 平移時不變小波的去除偽吉布斯現象效果

應用本文所述的新閾值結合平移時不變小波去噪方法，放大圖5的某一片段結果，如圖6所示。

圖6 平移時不變小波的去除偽吉布斯現象效果

如圖6圈中的部分所示，平移時不變小波平移多次的小波去噪結果要比不平移的僅新閾值去噪結果平滑，解決了圖5新閾值小波去噪信號中的在脈搏波二次諧波附近處理所造成的偽吉布斯現象。這對后續脈搏波的特征點識別、周期劃分、特征識別有著重要意義。

4 結論

綜上所述，較傳統方法而言，本文提出的平移不變小波去噪法更適用于脈搏波信號的去噪處理。改進的新閾值平移不變小波變換方法能夠較好地彌補傳統小波閾值去噪方法中的不足之處。該方法摒棄了傳統的閾值函數，使用了新的小波閾值函數，并在此基礎上進一步結合了平移不變小波變換，不僅使去噪效果大大提高，而且能夠有效抑制偽吉布斯現象。

此外，通過仿真實驗，進一步驗證了將平移不變小波變換應用于脈搏波信號數據的處理中可以得到較好的去噪效果，且證實了該方法可以提高信號的信噪比，并能夠減小信號的均方根誤差。

本文中提到的預處理方法能對后續脈搏波信號的特征提取及識別等工作提供支持，有較好的實用意義和參考價值。

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