一題一課，發現知識本質

何佳丹

一、緣起：基于教材習題，深入解讀素材

人教版六年級下冊在學習完圓柱體積以后，教材上有這樣一道練習題（圖1）。這是一道難度較大的練習，具有很強的思維性與探索性。一題變一課，筆者嘗試通過這一學習材料，設計一節拓展課，引導學生展開深度學習，分析長方形與卷成的圓柱體積大小之間的聯系，發現規律并理解其背后的原因。如此，既拓展數學的知識面，開闊學生的眼界;又積累數學學習的經驗，發展學生的思維。

15. 下面4個圖形的面積都是36 dm2。用這些圖形分別卷成圓柱，哪個圓柱的體積最小？哪個圓柱的體積最大？你有什么發現？（單位：dm）

二、思考：基于學生本位——合理設計教學

（一）把脈現實學情

在六下“圓柱與圓錐”單元的學習中，學生了解了圓柱的基本結構，知道平面圖形可以通過平移、卷、旋轉等動態變化得到圓柱，理解并掌握了圓柱表面積、體積公式，能解決簡單的圓柱體積問題。

習題（圖1）內容多，思維含量大，情況較為復雜，4種長方形一共能卷成7種圓柱。筆者對66個學生第一次獨立完成練習的情況進行了調研，發現大部分學生會選擇通過計算比較圓柱的體積來解決這個問題，再通過數據分析發現規律。但圓柱數量多，計算量大，費時且容易混淆。即使在各個課時中已經較好地掌握了對應的知識內容，但當多個知識交叉綜合運用時，學生卻不一定能夠將這些零散的知識結構在自己的頭腦中勾連成完整的認知結構網。從學生的解題情況中可以窺見，不少學生對長方形和圓柱的認知狀態是單一的、靜態的、割裂的，缺乏動態、整體聯結的建構。有的學生對圖形運動變化前后的各部分聯系的認知是模糊的，誤以為長方形的長和寬就是卷成圓柱后的半徑和高;有的學生能夠辨析清楚長方形的長、寬分別作為圓柱的底面周長和高，卻在計算時不能正確應用體積公式。此外，學生的認知結構存在缺口，部分學生沒有意識到同一個長方形能卷成兩種圓柱（正方形除外）。

（二）精準定位目標

對于長方形卷成圓柱這道題學生究竟該學些什么？這題僅僅會做會算就夠了嗎？教學更應關注的是學生是否真的內化了解決問題的過程，知識與知識之間能否有效串聯？對于表象背后的本質，學生內心充滿疑惑，怎樣才能讓學生探索發現并深刻理解內在規律呢？基于以上思考，筆者設置拓展課教學目標：（1）經歷想象、猜想、驗證、發現等過程，探究面積相同的多個長方形中，怎樣卷成的圓柱體積最大和最小。（2）在操作探究、動手實踐、體驗活動中參與知識的生成、發展過程，主動地發現知識，體會、了解數學知識的來龍去脈。（3）在解決問題“誰的體積最大”的過程中，通過不同角度的思考和探究，感受策略多樣化，發展主動解決問題的能力，積累數學學習經驗，拓寬思維場域。

三、踐行：活用習題，有序推進

筆者將這道復雜的習題進行解構和重組，借助問題串，分兩個階段循序漸進地引導學生對“誰的體積大”這一問題進行深度探究。

階段一：問題驅動，層層深入。

1. 猜想驗證，喚醒認知。

把一張長方形紙（12 cm×3 cm）卷成圓柱，可以怎么卷？怎樣卷得到的圓柱體積更大？請你猜一猜，并驗證自己的猜想。

2. 觸類旁通，遷移運用。

再給一張正方形紙（6 cm×6 cm），也把它卷成圓柱，比較得到的圓柱體積和剛才兩個圓柱體積大小，誰的體積最大？誰的體積最小呢？

3. 溯本求源，發現本質。

再增加兩個長方形（18 cm×2 cm和9 cm×4 cm），這四個圖形中怎樣卷得到的圓柱體積最大？怎樣卷體積最小呢？你有什么發現？你知道背后的原因嗎？

策略1：具體計算比較。（略）

策略2：字母公式推理。

將長方形的長（a）卷起來作為底面周長，圓柱的體積V=πr2h=。同理，將長方形的寬（b）卷起來作為底面周長，圓柱的體積V=πr2h=。根據長方形的面積相同，可知ab相同，因為a>b，所以，即以最長的邊為底面周長卷起來的圓柱體積最大，以最短的邊為底面周長卷成的圓柱體積最小。

先從一個圖形入手，引導學生厘清長方形與卷成的圓柱各部分之間的聯系。學生通過獨立思考，經歷觀察、猜想、驗證，初步感知同一個長方形以不同邊為底面周長卷成的圓柱體積的大小是不同的。繼續增加一個和長方形面積相同的正方形紙卷成圓柱。學生嘗試自己推理這個圓柱的體積情況，遷移應用上一環節的知識和學習經驗，判斷出圓柱體積的范圍，并通過計算準確比較三個圓柱的體積大小。最后再增加兩個長方形，完整呈現習題，通過分組合作、組內探討、全班交流，逐步補充和完善結論。學習中出現了具體計算和字母公式推理兩種策略，教師引導學生對兩種策略進行溝通整理，感受到兩種策略的不同價值取向。即通過計算可以解決問題并發現規律：面積相同的多個長方形，以最長的邊做底面周長卷起來的圓柱體積最大，以最短的邊卷起來的圓柱體積最小;通過字母公式的推導還能進一步理解規律背后的原因。交流中學生的思維也正在逐漸進階，從具體數據表象走向抽象推理，由表及里，從“是什么”走向“為什么”，深刻把握規律表象背后的知識本質。

階段二：知識鏈接，腦洞大開。

其實這和圓柱的另一個體積公式V= S×r有關呢！你會推導嗎？你能利用這個公式，解釋剛才從長方形卷成圓柱中發現的規律嗎？

階段二，再往外想一想，借助微課，了解圓柱的另一個體積公式：V=S×r，為學生理解規律提供了新的思考路徑：當這些圓柱的側面積相同時，體積和半徑成正比例關系，半徑越大，對應的圓柱體積也越大。由此打破學生已有的對圓柱體積公式的思維定勢，刷新學生對圓柱體積公式的再理解，進一步豐富學生對圓柱體積的認知框架。

（作者單位：浙江省杭州市朝暉實驗小學 本專輯責任編輯：王彬）