“幾何直觀能力”的培養(yǎng)

武秉環(huán)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開幾何直觀，無論是概念、性質(zhì)、法則的教學(xué)，還是解決問題的教學(xué)，教師都應(yīng)該借助圖形直觀幫助學(xué)生加以理解。

一、數(shù)形結(jié)合，形成概念表征

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象，利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”、運(yùn)用“數(shù)”與“式”來細(xì)致入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從而順利、有效地解決問題。

如，有一個(gè)籠子，籠子中有雞也有兔，雞和兔共有5只，腿有14條。問雞有幾只，兔有幾只？題中有兩個(gè)變量——雞和兔，雞的只數(shù)增多，兔的只數(shù)就要減少，反之雞少了兔就多了，但它們總的只數(shù)和腿的條數(shù)是不變的。教學(xué)中，讓學(xué)生理解雞與兔是兩個(gè)變量十分困難，教師單純用語(yǔ)言是無法讓學(xué)生很好理解的。采用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生通過想想——畫畫——再想想——再畫畫，幫助學(xué)生理解雞兔這兩個(gè)變量，從而解決問題。同樣在相遇問題、工程問題和分?jǐn)?shù)、比例以及列方程等解決問題的教學(xué)中，都應(yīng)充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過畫線段圖、集合圖、長(zhǎng)方形面積圖、列表格等方式，呈現(xiàn)為較具體直觀的數(shù)學(xué)符號(hào)，使較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單明了，進(jìn)而迅速找出解決問題的方法。

二、直觀推理，提高分析能力

直觀推理作為一種滲透力極強(qiáng)的思維形式，可以說是數(shù)學(xué)直觀的精髓。加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)并不是只要求學(xué)生會(huì)構(gòu)造示意圖或線段圖，能給出數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀表征就可以了，還要充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題過程中的作用，為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)他們借助幾何直觀進(jìn)行比較、分析和想象，展開豐富多彩的直觀推理，進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。

對(duì)學(xué)生而言，純文字形式呈現(xiàn)的問題相對(duì)比較抽象，僅憑文字?jǐn)⑹鲇袝r(shí)很難直接看出題中的數(shù)量關(guān)系。這樣的問題也為學(xué)生學(xué)習(xí)畫圖整理信息、體驗(yàn)示意圖在分析數(shù)量關(guān)系過程中的作用提供了極好的素材。

如，教學(xué)“用畫圖的策略解決實(shí)際問題”時(shí)，先出示例題：學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8米。在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？然后教師并沒有直接指導(dǎo)學(xué)生畫圖，而是通過富有啟發(fā)f生的問題使學(xué)生體會(huì)到“光看文字，一下子想不出辦法”，進(jìn)而誘發(fā)畫圖的需要，引起學(xué)生學(xué)習(xí)和探索畫圖策略的動(dòng)機(jī)。對(duì)于畫圖方法的指導(dǎo)，教師采用“嘗試——講評(píng)——完善”的教學(xué)策略，先放手讓學(xué)生嘗試畫圖，再結(jié)合講評(píng)對(duì)關(guān)鍵步驟進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在示意圖上表示“增加3米”以及標(biāo)注相關(guān)信息的方法，來完善他們所畫的示意圖。完成畫圖后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過比較和交流，感受到“看圖形思考比較方便”，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生看圖進(jìn)行分析和比較，將題目中的相關(guān)數(shù)量與直觀圖形的意義對(duì)應(yīng)起來，找到正確的解題思路，初步體會(huì)示意圖對(duì)解決問題的作用。列式解答后，讓學(xué)生看圖解釋每一步算式的意思，再一次借助圖形直觀解釋數(shù)量關(guān)系的含義，理解列式的依據(jù)。最后，引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解決問題的過程，討論“為什么要畫圖”，幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理借助圖形直觀解決問題的經(jīng)驗(yàn)，感受畫圖策略的學(xué)習(xí)價(jià)值。

這樣的教學(xué)過程，從解決實(shí)際問題的需要出發(fā)，緊緊圍繞“畫圖”和“用圖”展開，使學(xué)生在解決問題的過程中初步學(xué)會(huì)畫示意圖整理?xiàng)l件和問題的方法，積累一些借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，并獲得對(duì)畫圖策略的深刻體驗(yàn)。

三、直觀探究，提高解題能力

數(shù)學(xué)教學(xué)要充分發(fā)揮幾何直觀在解決問題過程中的作用，注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題的過程，特別是一些可以利用直觀來描述的問題，不必急于給出解決問題的方法，而是鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀提出猜想或猜測(cè)，并盡可能地從中找到解決問題的思路或直接利用直觀手段求解，來幫助學(xué)生不斷積累利用直觀進(jìn)行思考的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀能力和解決問題的能力。

如，引導(dǎo)學(xué)生“怎樣把一個(gè)正六邊形分割成6個(gè)大小相等、形狀相同的圖形”時(shí)，學(xué)生就借助直觀圖形產(chǎn)生了以下的分法：

方法一：把正六邊形平均分成6個(gè)完全一樣的等邊三角形。

方法二：先畫出正六邊形的6條對(duì)稱軸，然后去掉經(jīng)過對(duì)邊中點(diǎn)的對(duì)稱軸，得到第一種分法；或去掉經(jīng)過頂點(diǎn)的對(duì)稱軸，得到第二種分法。

方法三：先把正六邊形分成3個(gè)完全相同的平行四邊形，再把每個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)完全相同的部分，這樣可以得到3種分法。

方法四：只要先找到正六邊形的3條對(duì)稱軸，再把3條對(duì)稱軸繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，就可以得到一種分法，這樣就有無數(shù)種分法。

方法五：先把正六邊形分成3個(gè)完全一樣的平行四邊形，再畫出它們的一條對(duì)角線，這是一種分法，然后把對(duì)角線繞它的中心點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，只要每次旋轉(zhuǎn)的方向和度數(shù)相同，也一樣得到無數(shù)種分法。

師總結(jié)：第一種思路是先畫出正六邊形的對(duì)稱軸，得到一種分法，再旋轉(zhuǎn)得到無數(shù)種分法；第二種思路是先把正六邊形分成3個(gè)完全一樣的平行四邊形，再把對(duì)角線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。盡管分法都有無數(shù)種，但解決問題的思路只有兩種，所以也可以看作是兩種不同的方法。

案例中，從把正六邊形平均分成6份到發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，幾何直觀作為有效的表達(dá)工具始終伴隨著學(xué)生的解題活動(dòng)，并啟發(fā)著學(xué)生的空間思維，引領(lǐng)學(xué)生的思維不斷走向深刻。在分的過程中，無論是由12等分去尋找6等分，還是由3等分去尋找6等分，學(xué)生把思考的過程和結(jié)果畫出來都是成功解決問題的關(guān)鍵。更為難得的是學(xué)生在兩種解題思路的啟發(fā)下，對(duì)分割六邊形的問題有了更深刻、更富有創(chuàng)造性的思考，并得到了無數(shù)種分法。而這一過程中，幾何直觀依然是促進(jìn)并引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的主角。最后，教師組織學(xué)生比較兩種思路的不同，使學(xué)生對(duì)兩種思路獲得更概括、更理性的認(rèn)識(shí)。整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生的精彩表現(xiàn)既得益于教師的啟發(fā)，更得益于幾何直觀的引領(lǐng)。

總之，“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問題，在教學(xué)中如何更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，還有待于我們進(jìn)一步研究，所以教師要善于觀察、善于思考、善于總結(jié)，力爭(zhēng)做一名研究型的教師。

責(zé)任編輯：徐新亮endprint