“建系坐標化”在平面向量數量積中的應用

盧浩殷+金俊

平面向量數量積在近幾年高考中均有涉及，而且都有一定的難度。這類試題往往以平面向量知識為載體，綜合函數、不等式、三角等知識，所涉及到的知識點較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時，常常表現為無從下手，或者半途而廢。難而在一些問題的解決過程中，也發現了一些比較常見易掌握的有效方法，在此共同探討一下：

當題中所給的圖形對稱或適合建立坐標系時，我們可以建立合適的坐標系，把復雜的平面向量的轉化問題直接轉化為純坐標的計算問題，而此法最關鍵的地方在于表示出各點的坐標，方便計算。

【案例1】在△ABC中，BC=6，BC邊上的高為2，則 的最小值為______

分析1：其實平面向量也是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段。對于本題我們就可以建立適當的坐標系來完成。過程如下：

以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸，建立如圖所示坐標系，則B（-3，0），C（3，0），A（x，2），則 =（-3-x，-2）， =（3-x，-2）， =（-3-x）（3-x）+4=x2-5，所以當x=0時，取得最小值-5，此時AB=AC。

分析2：當然我們也可以以BC所在直線為x軸，過A作BC的垂線為y軸建立直角坐標系，設B（-a，0），則C（6-a，0），以下略。

從上題中發現通過建立直角坐標系，顯然將抽象的復雜的向量數量積問題通過坐標計算的方式減少了許多的計算過程和思維過程，達到事半功倍的效果。

【案例2】已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC= ，∠BAC=120°，若 =α +β ，α+β的最小值為_____

分析：此類問題比較常見，學生在解題過程中往往無從下手，作為教師應該指導學生去審題，找到題中的關鍵點，引導學生用常規方法進行求解。對于本題，關鍵點是什么？是外心（三邊中垂線的交點），其次兩邊及其夾角，作用是什么？可以求數量積，可以求第三邊長。最后條件的作用是什么？建立點與點之間的關系。本題可以嘗試用建系的方法進行求解。

過程：以AC所在直線為x軸，過A作BC的垂線為y軸建立直角坐標系，則A（0，0），B（ ），C（ ，0），AC的中垂線為x= ，AB的中垂線為

求出兩直線交點坐標即圓心的坐標O（ ）

∴

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∴

∴

變式1：如圖正六邊形ABCDEF 中，P是△CDE內（包括邊界）的動點，設 =α +β （α、β∈R），則α+β的取值范圍是_____

變式2：給定兩個長度為1的平面向量， 和 ，它們的夾角為120°，如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動。若， =x + y ，其中x，y∈R，則x+y的最大值是_____

分析：這兩小題是案例2的變式題，在解題思路上與案例2如出一轍，不過本題是側重通過建系坐標化，把向量問題轉化為線性規劃問題來研究，過程略。

【案例3】如圖，AB是半徑為3的圓O的直徑，P是圓O上異于A，B的一點，Q是線段AP上靠近A的三等分點，且 =4，則 的值為_____

分析1：以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，設P（3cosα，3sinα），由Q是線段AP上靠近A的三等分點，求出Q點的坐標，則 =4，得到cosα= - ，再求 ，化簡整理，即可得到結果。

方法一考查平面向量的數量積的坐標表示，考查圓的參數方程的運用，考查三角化簡整理的運算能力。

分析2：以P為坐標原點，PB所在直線為x軸，建立直角坐標系，設A（0，n），B（-m，0），m2+n2=36，Q（0， ）， =4，求出n2的值，再求出m2的值，再求 ，化簡整理，即可得到結果。

【點評】

有關平面向量的數量積等問題的解決途徑多多，比如也可以利用向量轉化，數形結合法等等。解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里。

（作者單位：江蘇省寶應縣氾水高級中學）