引領學生克服數學思維定勢的負效應

王友春

思維定勢，是人們按習慣了的比較固定的思維方式去分析和解決問題的形式，是一種宏觀思維監控意識削弱而進入模式化信息加工程序的情景。學生在數學解題、建構自己的知識體系時，常常用固定的模式、思路來分析、解決問題，形成思維定勢。有些教師認為思維定勢與提高學生的數學素養是矛盾的，提高解題能力就要訓練學生打破思維定勢。筆者不同意此觀點，正如圍棋中有“定式”，它是經各代高手反復演練，對弈雙方都能獲利的招式，它有固定的應對也有多變的變招，一個棋手不經過“定式”的訓練是不會入門的。在數學學習中同樣如此。

例如《必修4 三角恒等變換》的教學，利用各類三角函數變換公式解題具有題型變化多，公式變形靈活等特點，是考查邏輯思維能力、反映思維品質的良好載體，這些決定了學好這一部分不僅需要足量的練習先形成思維定勢（造勢、蓄勢），更要注重幫助學生揭示解題的思維過程、解后反思，不斷克服思維定勢產生的負效應（破勢），讓學生以模仿、探究、掌握、體驗等方式不斷地富有創新地完成學習，以下是筆者的一個相關教學片段和反思。

一、造勢——形成思維定勢

問題1：已知cosα+cosβ= ，sinα-sinβ= ，求cos（α+β）。

師：請學生回顧公式Cα+β，和同角三角函數的平方和關系cos2α+sin2α=1，尋找與本題的聯系。（經過一分鐘左右地思考，有學生舉手說欲發言，如學生A和學生B……）

生A：將已知條件中兩式平方后構造出cosαcosβ與sinαsinβ，求和并用“cos2α+sin2α=1”后，逆用公式Cα+β得：2cos（α+β）=- ，即cos（α+β）=- 。（學生回答很好，教師表示贊許，并請學生A板演過程（略））

反思：學生A的思路是處理這類問題的常規方法，它使學生先形成基本的思維定勢，這種定勢對解決以下問題是有積極效應的。

二、蓄勢——積蓄思維定勢

問題1中應用了“cos2α+sin2α=1”和公式Cα+β，依此例請學生們練習一題，增加對上述一類公式的理性認識：

問題2，已知8sinα+5cosβ=6，sin（α+β）= ，求8cosα+5sinβ。

經過幾分鐘思考，有些學生舉手想發表思路或見解。

生C：我由問題1的啟發，發現8sinα+5cosβ=6（1）的左邊與所求當中：sinαcosα系數，cosβsinβ系數相同，故假設8cosα+5sinβ=k（3），（1）2+（3）2此過程中利用公式：“cos2α+sin2α=1，Sα+β”和sin（α+β）= （2）式，進而求出k。

反思：問題2進一步將思維定勢的積極效應擴大。

三、破勢——打破思維定勢

在以上三個問題的基礎上，筆者預料到學生可能已形成了思維定勢，即熟悉了題中處理問題的方法，很多學生往往很難靈活運用數學知識，無法產生創新思維，而這正是我們所追求的最高目標，故筆者又設置了下面的問題讓學生探究，克服思維定勢所產生的負效應：

問題3，已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求：cos2α+cos2β。

一段時間思考后，有幾位同學想發表自己的見解：

生F：由以上三題的啟示，此題將sinα+sinβ=1（1），cosα+cosβ=0（2）平方后求和得2+2cos（α-β） =1，即cos（α-β）=- ；將（1）（2）式平方后求差得：cos2α+cos2β +2cos（α+β）=-1（3），cos2α+cos2β=[（α+β）+（α-β）] +cos[（α+β）-（α-β）]=……=2cos（α+β）cos（α-β），可見求出cos（α+β）和cos（α-β）即可，但cos（α+β）無法由（3）直接求出，此時我想到：未知cos（α+β）是因為（3）中有cos2α+cos2β，而它不正是我們所要求的嗎？于是設cos2α+cos2β=k，則（3）式即：k+2cos（α+β）=-1，再由k=2cos（α+β）·cos（α-β）推出k=1。

師：（啟發）除了學生F的思路，有無更好的處理方式了？

生E：將（1）（2）式平方再求差得（3）式：cos2α+cosβ+2cos（α+β），即用公式Cα+β，從而求cosα，sinβ，cosβ，sinβ就可以了，于是再看（1），（2）式：由（1）可得sinα=1-sinβ。由（2）可得cosα=-cosβ，于是根據“sin2α+cos2α=1”有1=1-2sinβ+sin2β+cos2β=2-2sinβ推出sinβ= ，sinα= ，cosα=± ，cosβ=± ；再注意到（2）式中cosα，cosβ互為相反數，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=- =-1，∴cos2α +cos2β=1

師：（啟發）我們若總沿著習慣的道路前行，只能走向緘默和平庸，有沒有捷徑？

生G：前兩種思路太繁，剛學過倍角公式，有cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β可先求出sinα，sinβ（學生E已求出）；則有cos2α+cos2β=1-2sin2α+1-2sin2β= 2-2[（ ）2+（ ）2]=1

（其他學生有的驚呼“上當”，有的則贊許生G，感到獲益良多）

師：用倍角公式解決此題，簡潔、明了，克服了有前幾題產生的思維定勢造成用學生F和學生E的思路解決問題的繁瑣。

反思：

1.對于問題3，若受已有知識或經驗（前三題）的影響可能就會繁化解題，本質是思維定勢的產生了負效應，而在學生E的思路前，筆者并沒有作過多的提示，而是引領學生主動打破了思維定勢，這種打破也從另一方面鞏固了所學，為新知識、技能建構提供了基礎。

2.本節教學片段的價值：學生解題能力的提高和數學素養的提升不會一蹴而就，首先在教學中要客觀地認識并辨證地看待學生解題產生的思維定勢，關鍵是引領學生克服思維定勢的負效應；其次數學課堂教學應突出思維過程的教學，培養學生的探究能力，關注每一位學生的情感和學習態度，尊重他們的學習成果，并及時作出評價，引領更多的學生參與到課堂活動中來，而不僅僅把解決當前的問題當成教學的唯一目標，急于“推銷”自己的想法，想把學生的思維納入自己預先設計的軌道上來，這樣做的結果會讓學生形成條件反射，以套路和程式生搬，更易產生思維定勢的負效應。總之，“教師一定要轉變教育觀念，改變人才培養模式，積極實行啟發式和討論式教學，激發學生獨立思考的和創新的意識，切實提高教學質量，讓學生感受和理解知識的產生和發展過程，培養學生的科學素養和創新思維習慣”（江澤民），讓學生在已有基礎上步入創新之路！

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區蔣王中學）