基于壓縮感知的線性調頻信號參數估計

閆 浩 董春曦 趙國慶

(西安電子科技大學 電子信息攻防對抗與仿真技術教育部重點實驗室,陜西 西安 710071)

引 言

線性調頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號廣泛應用于雷達、聲納和通信等系統中,LFM信號參數估計是電子戰信號處理領域中一個重要的問題.在傳統奈奎斯特采樣框架下,國內外學者提出了很多LFM信號參數估計的方法,有基于最大似然[1]、短時Fourier變換和小波變換[2]、Wigner-Ville分布[3]、Radon-Wigner變換[4]、Randon-Ambiguity變換[5]和分數階Fourier變換[6](Fractional Fourier Transform, FrFT)等方法.以上的方法都存在一個問題,就是在奈奎斯特采樣框架下,隨著LFM信號帶寬不斷增大,對信號的采樣頻率也越來越高,這給戰場中用于信號采集、傳輸和處理的硬件系統造成極大壓力.雖然國內學者提出的欠采樣結合解線性調頻的方法[7],對采樣頻率的要求降低了,但存在頻率模糊問題,需要在后續進行解模糊的處理[8].因此,如何尋找一種新的信號參數估計算法來降低LFM信號帶寬過寬對采樣系統造成的壓力是目前亟待解決的問題.

壓縮感知(Compressed Sensing, CS)[9-11]理論的提出給LFM信號處理問題帶來了新的思路,以往在應用CS理論進行信號處理時,大多是以精確重構信號為目的,然而在應用CS理論進行信號檢測與參數估計時,可以在不完全重構信號的情況下,達到信號檢測與參數估計的目的[12-15].文獻[16]構造波形匹配字典,達到LFM信號檢測的目的,但是在沒有先驗知識的情況下,構造字典的參數不易選取,而且字典原子數目過于龐大,在利用優化算法恢復信號時,每次都要在所有原子中遍歷,算法計算量過大,并且在強窄帶干擾情況下,信號檢測成功率不高.文獻[17]提出的方法可以在強窄帶干擾下估計LFM信號調頻斜率,但同樣是根據信號波形構造冗余字典,而且沒有考慮調頻斜率與起始頻率的聯合估計問題.文獻[18]利用LFM信號在時頻域的稀疏性,通過重構信號的短時Fourier變換,對信號調頻斜率進行估計,但同樣不能估計信號的起始頻率.

文中利用LFM信號在FrFT域的稀疏性,提出了一種基于CS的FrFT域LFM信號參數估計算法.首先構造Fourier變換矩陣,作為信號稀疏分解的字典,對窄帶干擾信號進行抑制;然后利用LFM信號在最佳FrFT域中具有能量聚集的特性,對變換階次p進行搜索,構造各個階次的FrFT矩陣,通過恢復算法得到信號在各個階次FrFT矩陣中的系數向量;最后通過二維搜索,得到最佳變換階次,進而得到LFM信號的調頻斜率和起始頻率的估計.該算法用于參數估計的壓縮采樣點數遠低于奈奎斯特框架下的采樣點數,能夠減輕戰場中信號采樣系統的負擔,降低功耗和成本,緩解數據存儲和傳輸的壓力,提高戰場信息傳輸的實時性.由于在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)情況下,LFM信號在FrFT域中仍然表現為稀疏信號,相比利用信號波形構造字典的算法,該算法能在更低的SNR情況下,獲得更高的信號參數估計成功概率.

1 壓縮感知理論

假設復信號x∈CN是N維的列向量,矩陣Ψ≡[ψ1,ψ2,…,ψZ]的列向量ψi(i=1,…,Z)構成復向量空間CN的一個字典,該字典可以是一個標準正交基,也可以是一個冗余框架,其中Z為字典中原子的個數.信號x可以由字典Ψ展開為

(1)

式中,Θ=[θ1,…,θZ]T為信號x在Ψ域中的Z×1維復系數向量,T表示向量轉置.若系數向量Θ中非零元素的個數K?N,或者當將Θ中的元素按從大到小的順序排列,且其按照一定量級冪次速度衰減,若大系數[11]個數K?N,則認為信號x在Ψ域中是稀疏信號或可壓縮信號,且稀疏度為K.

CS理論的思想是如果N維信號x在某個變換基Ψ下是稀疏的或可壓縮的,且稀疏度為K,則可以利用一個與變換基Ψ不相關的M×N(K

y=Φx=ΦΨΘ.

(2)

利用信號x的少量觀測值y、變換基Ψ和觀測矩陣Φ,通過求解一個優化問題,就能夠以高概率精確恢復原始信號x[9-10].

具體的壓縮采樣過程可以通過模擬信息轉換器(Analog to Information Converter, AIC)[19]來完成,典型的AIC如圖1所示.對信號的處理過程主要由信號調制、濾波和均勻采樣三個步驟完成.首先用偽隨機序列pc(t)對輸入信號x(t)進行調制,它的取值必須滿足奈奎斯特采樣定理,調制的目的是為信號重構提供必要的隨機性;然后用模擬低通濾波器h(t)對調制信號濾波,保證信號不失真;最后通過低速模數轉換器(Analog to Digital Converter, ADC)采樣得到壓縮采樣數據y[n].

圖1 AIC框架

最直觀的恢復信號的方法是在Ψ中找到信號x的稀疏表示,即找到系數向量Θ非零元素最少的解,也即求解復系數向量Θ的最小l0范數解:

min‖Θ‖0s.t.y=ΦΨΘ,

(3)

‖·‖0表示向量中非零元素的個數.由于求解式(3)是一個NP-hard問題,常用的解決方法是用l1范數代替l0范數對復系數向量Θ進行約束,即

min‖Θ‖1s.t.y=ΦΨΘ.

(4)

在得到復系數向量Θ后,通過式(1)便可獲得原始信號x.

另外一種常用的算法是貪婪算法,典型的算法包括匹配追蹤(Matching Pursuit, MP)算法和改進型的正交匹配追蹤[13](Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法.

2 LFM信號參數估計

2.1 FrFT的定義

從線性積分變換的角度給出FrFT的基本定義:函數f(t)的p階FrFT是一個線性積分運算[6],且有

(5)

進一步地,為計算方便,經變量代換,fp(u)可以表示為

fp(u) ={Fp[f(t)]}(u)

0<|p|<2(0<|α|<π)

(6)

由式(6)看出,當p=1時,α=π/2,Aα=1,此時有

(7)

可見f1(u)就是f(t)的普通Fourier變換.同樣,可以看出f-1(u)是f(t)的普通Fourier逆變換.

2.2 基于FrFt的LFM信號參數估計

單分量LFM信號x(t)可表示為

x(t)=Aex p(j2πf0t+jπk0t2),

(8)

式中:A為信號幅度;k0為信號調頻斜率;f0為信號起始頻率; Δt為信號持續時間.將式(8)代入式(5),得

f0)t+(cotα+k0)t2]}dt.

(9)

當cotα=-k0,即α=arccot(-k0)時,式(9)變為

Xα(u)=AAαexp(jπu2cotα)·

δ[2π(ucscα-f0)].

(10)

即一個LFM信號在旋轉角度α=arccot(-k0)的FrFT域內表現為一個沖擊函數,具有能量聚集的特性,該FrFT域被稱為最佳FrFT域,相應的階次p=α/(π/2)稱為最佳FrFT階次.

對上述信號的調頻斜率k0和起始頻率f0的估計過程可以描述為[20]:

(11)

(12)

實際工程中,需要計算離散FrFT,在經過量綱歸一化[21]后信號的調頻斜率k0和起始頻率f0的估計式變為

(13)

式中:fs為采樣頻率;N為采樣點數.

3 基于CS的LFM信號參數估計

高斯白噪聲中LFM信號參數估計的信號模型為

x=s+n.

(14)

式中:s為LFM信號;n為加性高斯白噪聲.利用CS對LFM信號進行參數估計的目標是通過直接處理信號的壓縮采樣值,提取信號參數信息.由上節討論可知,對于一個給定的LFM信號,存在一個最佳FrFT域對該LFM信號具有最好的能量聚集特性,即在最佳FrFT域中LFM信號表現為一個沖擊函數,也就是說在最佳FrFT域中LFM信號是一個稀疏信號,且稀疏度K=1.這恰好滿足CS理論對于信號在某個變換域是稀疏信號的要求,使利用CS理論在FrFT域內對LFM信號進行參數估計成為了可能.

受上節基于FrFT的LFM信號參數估計算法啟發,根據參數估計精度要求對FrFT的變換階次p在[0,2)區間內進行搜索,分別構造各個階次p對應的FrFT矩陣ΨFrFT_p作為信號的稀疏變換基,此時有s=ΨFrFT_pΘs_p.由于高斯白噪聲在變換域內不稀疏[13],利用觀測矩陣Φ對信號x壓縮采樣,得

y=Φs+Φn=ΦΨFrFT_pΘs_p+Φn.

(15)

利用恢復算法求解信號在各個FrFT矩陣ΨFrFT_p中的系數向量Θs_p,即Θs(p,u).對Θs(p,u)進行二維搜索,此時式(11)變為

(16)

實際中,LFM信號參數估計是一個復雜的問題,接收到的信號中常常伴隨著噪聲與窄帶干擾的存在.此時信號模型為

x=s+J+n.

(17)

式中:s為LFM信號;J為復正弦信號;n為加性高斯白噪聲.

對階次p在[0,2)區間內進行搜索得到ΨFrFT_p,再利用觀測矩陣Φ對信號x壓縮采樣,此時將得到

y=Φ(s+J)+Φn

=ΦΨFrFT_pΘ(s+J)-p+Φn.

(18)

由式(18)看出,通過恢復算法得到的信號系數向量Θ(s+J)_p中的元素將會受到干擾信號J的影響,因此通過對Θ(s+J)(p,u)進行二維搜索估計信號參數時,將會造成錯誤估計.

在這里我們考慮強干擾的情況,即窄帶干擾信號功率與信號功率相近或遠大于信號的功率.正弦信號在Fourier變換域是稀疏信號,因此將文獻[16]中的形態學成分分析的思想引入算法中.首先構造Fourier變換矩陣ΨFFT作為信號的稀疏變換基;然后利用OMP算法[13],控制算法迭代次數,迭代次數由干擾信號數目確定,進而得到信號x在ΨFFT中占主要成份的系數向量ΘJ,由于是在強干擾情況下,因此由OMP算法得到的系數即為干擾信號J對應的成份,利用式(19)可以將干擾信號成份從y中剔除:

y=y-ΨFFTΘJ.

(19)

綜上所述,在高斯白噪聲和強窄帶干擾背景下,基于CS的LFM參數估計算法的步驟為:

1) 獲得信號壓縮采樣值y=Φx;

2) 構造Fourier變換矩陣ΨFFT;

3) 利用OMP算法進行有限次數迭代,求解信號在ΨFFT中的系數向量ΘFFT,利用式(19)去除窄帶干擾信號;

4 仿真實驗及分析

實驗中,設信號長度N=512,幅度A=1,用fs=80 MHz的采樣頻率對信號進行模擬.利用快速Fourier變換(Fast Fourier Transform,FFT)算法直接構造N×N的Fourier變換矩陣ΨFFT作為窄帶干擾信號的稀疏基.對信號的壓縮采樣過程是通過一個M×N維隨機矩陣Φ完成的,其中Φ的元素滿足高斯分布.規定檢測成功率高于95%檢測有意義.

實驗1 對單分量LFM信號參數估計進行數值實驗.在信號中加入高斯白噪聲和強窄帶干擾信號,假設有一個復正弦信號作為干擾信號,信干比(Signal-to-Interference Ratio, SIR)為0 dB,頻率f=20 MHz,此時‖ΘJ‖0=1,因此步驟3中OMP算法執行一次迭代.在SNR為5 dB的情況下,信號的調頻斜率k0與起始頻率f0分別取不同值時,考察參數估計的相對誤差ER:

(20)

(21)

信號參數估計結果如表1所示.

表1 LFM信號參數估計結果

三組實驗中,窄帶干擾信號的頻率均在LFM信號帶寬內.由表1可以看出,在高斯白噪聲和強窄帶干擾條件下,當信號調頻斜率與起始頻率分別取不同值時,該算法的二次搜索過程可以準確估計信號參數,參數估計的相對誤差能達到10-3量級,且算法不受干擾信號頻帶范圍影響.

實驗2 考察文中算法在不同SNR條件下,參數估計成功概率隨壓縮采樣點的變化情況.設輸入信號起始頻率f0=10 MHz,調頻斜率k0=5×1012Hz/s.在信號中加入窄帶干擾信號,信號參數同實驗1,SIR為0 dB.壓縮采樣點數M從40到140以步進20變化,在每個采樣點下,進行200次實驗,參數估計成功率為參數估計成功次數在200次實驗中所占的比例,參數估計成功標準為估計值與實際值的相對誤差小于0.01.在SNR為0、3、5和10 dB的情況下,分別考察信號參數估計的成功率.實驗結果如圖2所示.

圖2 不同SNR下參數估計成功概率隨采樣點數變化曲線

由圖2可以看出,信號參數估計成功概率隨SNR和采樣點數的增大而提高.當SNR為3 dB時,采樣點數M達到80,信號檢測成功率即可以達到95%以上;而當SNR逐漸提高時,可以在更少的采樣點數時,達到更高的檢測成功率,獲得更高的壓縮比.由實驗2可以看到,當SNR為3 dB,壓縮采樣點數低于奈奎斯特采樣點數1/4時,信號參數估計成功率仍可以達到95%以上.

實驗3 考察文中算法在不同SIR條件下,參數估計成功概率隨壓縮采樣點的變化情況.信號參數設置和參數估計成功概率準則同實驗2.假設有兩個復正弦信號作為干擾信號,頻率分別取f1=15 MHz和f2=35 MHz,干擾信號和LFM信號頻帶重疊.此時滿足‖ΘJ‖0=2,即干擾信號J在ΨFFT中是稀疏度為K=2的稀疏信號,因此步驟3中OMP算法執行兩次迭代.在SNR為3 dB的情況下,SIR分別取0、-10和-20 dB,分別考察信號參數估計成功率隨壓縮采樣點數變換情況.實驗結果如圖3所示.

由圖3可以看出,在強干擾條件下,即當SIR遠小于0 dB時,信號參數估計成功率基本不變.當壓縮采樣點數大于等于60時,信號參數估計成功率能夠達到95%以上,當壓縮采樣點數小于60時,信號參數估計成功率迅速下降,同樣是由于壓縮采樣點數過少時,采樣值中包含原信號的信息太少,對恢復算法影響較大的原因.實驗3說明文中算法對強窄帶干擾不敏感,可以在強窄帶干擾中準確估計LFM信號參數.

圖3 不同SIR下參數估計成功概率隨采樣點數變化曲線

實驗4 通過蒙特卡羅實驗對文中算法與文獻[17]算法進行對比實驗,考察兩種算法參數估計成功率隨SNR和壓縮采樣點數M的變化情況.設信號的起始頻率f0=10 MHz,帶寬B=30 MHz,則此時對應的信號持續時間Δt=6.39 μs,調頻斜率k0=4.696 7×1012Hz/s.

按照文獻[17]算法,根據調頻斜率k0和起始頻率f0構造波形匹配字典,當壓縮采樣點數M=150,SNR從-10 dB到10 dB步進為2變化時,蒙特卡羅實驗200次,兩種算法信號參數估計成功率比較如圖4所示.

圖4 參數估計成功概率隨SNR變化曲線

從圖4可以看出:在受到噪聲影響條件下,當檢測成功率高于95%時,與文獻[17]算法相比,由于LFM信號在FrFT域具有良好的稀疏性,相同參數估計成功概率下,文中算法允許的SNR低,抗噪聲能力較強;在相同SNR條件下,文中算法能獲得更高的參數估計成功概率.

在SNR為-3 dB情況下,壓縮采樣點數從100到200步進為20變化,蒙特卡羅實驗200次,考察兩種算法參數估計成功率,結果如圖5所示.

圖5 參數估計成功概率隨采樣點數變化曲線

由圖5可以看出:與文獻[17]算法相比,在低SNR條件下,參數估計成功概率相同時,文中算法需要的壓縮采樣點數更少,具有更高的壓縮率;在相同采樣點數條件下,文中算法可以獲得更高的參數估計成功概率.

5 結 論

文中利用LFM信號在FrFT域具有稀疏性的特點,提出一種基于CS的LFM信號參數估計新方法.在沒有LFM信號先驗知識的情況下,該算法對高斯白噪聲和強窄帶干擾不敏感,可以對待估計LFM信號的調頻斜率和起始頻率準確估計.該方法將分數階Fourier矩陣作為LFM信號的稀疏變換基,在達到相同參數估計成功率條件下,較波形匹配字典的方法需要的SNR更低、壓縮采樣點數更少.文中算法需要對變換階次p搜索,計算量較大,如何尋找一種方法來降低搜索帶來的計算量,還有待深入研究.

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