雙各向異性色散介質(zhì)電磁波傳播Z-時域有限差分分析

楊利霞 許紅蕾 孫 棟 王洪金

(江蘇大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與通信工程學(xué)院通信工程系,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

引 言

時域有限差分(Finite-Difference Time-Domain,FDTD)方法是一種分析復(fù)雜介質(zhì)電磁問題的得力方法.目前,國內(nèi)外對于復(fù)雜介質(zhì)電磁特性的分析主要集中在各向異性介質(zhì)[1]、色散介質(zhì)包括手征媒質(zhì)[2]和鐵氧體介質(zhì)[3]及等離子體介質(zhì)[4]等.但是對于雙各向異性色散介質(zhì)的研究,國內(nèi)還沒有看到報道,國外也還處于摸索起步階段.雙各向異性色散介質(zhì)大多是新型的人工合成材料,可以應(yīng)用到許多領(lǐng)域,如后向波媒體[5]、波導(dǎo)系統(tǒng)[6]以及微帶天線的吸收器[7].由于其本構(gòu)參數(shù)是張量的形式,導(dǎo)致分析這種介質(zhì)變得相當(dāng)復(fù)雜.為了研究該介質(zhì)的電磁特性,需要對傳統(tǒng)的FDTD方程進(jìn)行拓展及改進(jìn).

基于分析色散介質(zhì)電磁問題的改進(jìn)FDTD方法,從現(xiàn)有文獻(xiàn)看主要有輔助微分方程(Auxiliary Differential Equation, ADE)[8]、分段線性遞歸卷積方法(Piecewise Linear Recursive Convolution, PLRC)[9]、Z變換方法[10]和電流密度拉普拉斯變換時域有限差分(Current Density Laplace Transfer Finite-Difference Time-Domain, CDLT-FDTD)[11]方法.其中，Z變換方法在共振頻率附近具有最高精確度,且容易編程實(shí)現(xiàn).

基于一種改進(jìn)的Z變換-FDTD方法,成功地研究了更一般情況下的雙各向異性色散介質(zhì).Omega媒質(zhì)[12]作為一種人工合成的雙各向異性色散介質(zhì)典型例子,便于建模分析,且具有一般代表性,因此選定該介質(zhì)為基本研究對象.

1 雙各向異性色散介質(zhì)基本理論

如圖1所示,形如Ω的金屬粒子按部分平行xz和部分平行yz平面排列,稱之為單軸型雙各向異性色散介質(zhì).這些Omega媒質(zhì)的共振行為導(dǎo)致了頻率色散,使介質(zhì)的本構(gòu)參數(shù)變?yōu)轭l率的張量形式.

在頻域下的雙各向異性色散介質(zhì)的本構(gòu)方程可以寫為：

(1)

(2)

式中：E、D、H、B分別是電場強(qiáng)度、電通量密度、磁場強(qiáng)度和磁通量密度；ε、μ、α是3×3階的張量,分別稱為張量介電系數(shù)、張量磁導(dǎo)率和張量電磁耦合系數(shù),且都是ω的函數(shù),它們的元素代表介質(zhì)在各個方向上的本構(gòu)參數(shù)； T表示轉(zhuǎn)置.

(a) 主光軸沿波的傳播方向

(b) 主光軸不沿波的傳播方向圖1 單軸型Omega介質(zhì)板

1.1 單軸型雙各向異性色散介質(zhì)

根據(jù)圖1(a)主光軸沿著z方向,單軸型雙各向異性色散介質(zhì)的本構(gòu)參數(shù)為:

(3)

(4)

α(ω)=jK(ω)J.

(5)

假設(shè)在z方向Ω形金屬粒子準(zhǔn)靜態(tài)極化,相對垂直的介電系數(shù)εn和磁導(dǎo)率μn可以忽略不計.則相對橫向的本構(gòu)參數(shù)分別可以表示為;

(6)

(7)

(8)

式中：ω0、ξ0、τK分別為諧振頻率、阻尼系數(shù)和電磁耦合系數(shù);εs、μs分別為靜態(tài)相對介電系數(shù)和磁導(dǎo)率;ε∞、μ∞分別為頻率遠(yuǎn)大于ω0時的相對介電系數(shù)和磁導(dǎo)率.

1.2 旋轉(zhuǎn)形式

如圖1(b)所示,主光軸與z軸有個夾角,設(shè)坐標(biāo)軸以歐拉角α,β,γ旋轉(zhuǎn),則關(guān)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的雙各向異性色散介質(zhì)的本構(gòu)參數(shù)張量形式變?yōu)?

εrotated(ω)=UT·ε(ω)·U;

(9)

μrotated(ω)=UT·μ(ω)·U;

(10)

αrotated(ω)=UT·α(ω)·U.

(11)

式中,U是旋轉(zhuǎn)矩陣

(12)

2 雙各向異性色散介質(zhì)的FDTD算法

2.1 雙各向異性色散介質(zhì)本構(gòu)方程的Z變換處理

由式(1)、(2)可知,Z域中的本構(gòu)關(guān)系如下

D(z)=ε0ε(z)·E(z)T+

(13)

E(z)T.

(14)

式中,T是Z變換中離散時的采樣周期.

將式(1)、(2)寫成兩部分,分別是與頻率相關(guān)部分和頻率無關(guān)部分,即

D(ω)=ε0(εc+εω(ω))·E(ω)+

(15)

B(ω)=μ0(μc+μω(ω))·H(ω)-

(16)

式中:

εc=ε∞Me+εnNe;

(17)

(18)

μc=μsMm+μnNm;

(19)

(20)

α(ω)=jK(ω)O.

(21)

對于旋轉(zhuǎn)單軸型,有

(22)

其次,為了從頻域轉(zhuǎn)化到Z域,可以利用以下幾個Z變換公式:

(23)

(24)

(25)

(26)

式中,β和ρ都是常量.則Z域中的本構(gòu)參數(shù)張量形式ε(z)、μ(z)、α(z)可以寫為:

(27)

(28)

(29)

2.2 雙各向異性色散介質(zhì)的修正場量方程

將ε(z)、μ(z)、α(z)代入Z域下的介質(zhì)本構(gòu)方程,得：

H(z);

(30)

(31)

式中:

(32)

(33)

(34)

注意,為了寫法的簡單和編程的方便,將式(30)、(31)寫成以下形式:

D(z)=ε0εc·E(z)+ε0Se(z)z-1+

Sαh(z)z-1-Sαh(z)z-2;

(35)

B(z)=μ0μc·H(z)+μ0Sh(z)z-1-

2μ0Sh(z)z-2+μ0Sh(z)z-3-

Sαe(z)z-1+Sαe(z)z-2.

(36)

式中:

(37)

(38)

(39)

(40)

據(jù)此,對Z域下的修正場量方程進(jìn)行移項(xiàng)化簡,就可以得到修正的E(z)、H(z)方程:

Sαh(z)z-1+Sαh(z)z-2];

(41)

2μ0Sh(z)z-2-μ0Sh(z)z-3+

Sαe(z)z-1-Sαe(z)z-2].

(42)

已知Z域中有如下性質(zhì):z-nF(z)?f(t-nT).設(shè)定采樣周期T等于FDTD算法中半個時間步長,則式(41)、(42)可寫為:

(43)

(44)

在普通單軸型雙各向異性色散介質(zhì)情形下,有

(45)

(46)

結(jié)合(43)、(44)就可以推導(dǎo)出一維情形下修正的E、H方程.

2.3 雙各向異性色散介質(zhì)的修正S方程

將式(37)至(40)移項(xiàng),并利用Z變換性質(zhì)z-nF(z)?f(t-nT),可得：

(47)

(48)

(49)

(50)

3 數(shù)值驗(yàn)證及分析

3.1 一維單軸型雙各向異性色散介質(zhì)

計算厚度為10 cm的一層Omega板,所取參數(shù)為:ε∞=2,εs=5,εn=1.5,μ∞=1.1,μs=1.8,μn=1,f0=ω0/2π=2 GHz,ξ0=0.5,τK=0.7/ω0. 激勵源選擇高斯脈沖,計算結(jié)果如圖2和圖3所示,其中圖2是反射波和透射波與解析解的對比圖,圖3是反射系數(shù)和透射系數(shù)與解析解的對比圖.從兩圖可以看出,計算結(jié)果與解析解[13]相一致,證明了本方法的準(zhǔn)確性.

3.2 一維旋轉(zhuǎn)單軸型雙各向異性色散介質(zhì)

旋轉(zhuǎn)單軸型的算法推導(dǎo)與第2節(jié)類似,僅在處理本構(gòu)參數(shù)時引入旋轉(zhuǎn)矩陣U即可.計算模型及參數(shù)與3.1節(jié)一樣,歐拉角α=10°,β=15°,γ=45°.由于旋轉(zhuǎn)矩陣U的影響,電磁耦合系數(shù)α變?yōu)橐粋€復(fù)雜稠密的矩陣,導(dǎo)致了一個相對較強(qiáng)的電磁耦合性.因此,旋轉(zhuǎn)單軸型的反射波和透射波就同時出現(xiàn)了同極化和交叉極化現(xiàn)象.圖4是同極化下的反射波和透射波.圖5是交叉極化下的反射波和透射波,它與同極化下的波形有較大區(qū)別,表現(xiàn)出了旋轉(zhuǎn)矩陣的影響.另外,從兩圖可以看出計算結(jié)果與解析解[13]的誤差很小,證明了Z-FDTD方法的可行性.

(a) 反射波

(b) 透射波圖2 單軸型雙各向異性介質(zhì)的反射波和透射波波形

(a) 反射系數(shù)

(b) 透射系數(shù)圖3 單軸型雙各向異性介質(zhì)的反射和透射系數(shù)

(a) 反射波

(b) 透射波圖4 旋轉(zhuǎn)單軸型雙各向異性介質(zhì)同極化反射波和透射波波形

(a) 反射波

(b) 透射波圖5 旋轉(zhuǎn)單軸型雙各向異性介質(zhì)交叉極化反射波和透射波波形

4 結(jié) 論

提出了一種適合于分析雙各向異性色散介質(zhì)電磁特性的方法,分別處理了普通單軸型和旋轉(zhuǎn)單軸型兩種不同情形的雙各向異性色散介質(zhì)的反射和透射情況,與解析解相符,表明了基于Z變換的修正FDTD方法的正確性.本文結(jié)果為將來解決三維實(shí)際雙各向異性色散介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射問題奠定了理論基礎(chǔ).

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