一道有關正方體軌跡問題的探討

●陳華云 (溫州市第二外國語學校 浙江溫州 325015)

一道有關正方體軌跡問題的探討

●陳華云 (溫州市第二外國語學校 浙江溫州 325015)

2015年5月浙江省溫州市高中數學學業水平考試適應性測試的選擇壓軸題如下:

例1 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點P在底面ABCD上，并且滿足∠BD1P=45°，則動點P的軌跡為( )

A．圓弧 B．橢圓的一部分

C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分

(正確答案:C)

圖1

圖2

表1 二元二次方程與相關圖形

(教師追問:能否通過改變建系的方法，化簡上述方程的形式?)

圖3

比較以上2種解法，由于不同的建系方法，導致結果形式不同，解法2更易判定為雙曲線方程，實際上解法1也可通過坐標系旋轉變換公式

(教師:此時問題已經得到解決，但過程有些曲折，能否進一步利用圓錐曲線模型進行分析?)

結論用一個不過圓錐面頂點的平面去截一個圓錐面，當平面與圓錐面的所成角θ與軸截面頂角的半角α大小關系不同時，交線的不同情況如圖4所示:1)當α＜θ＜時，交線為橢圓;2)當0≤θ≤α時，交線為雙曲線;3)當θ=α時，交線為拋物線．特別地當θ=時，交線為圓．

圖4

解法3易知 α=45°，θ=∠D1BD，而tanθ=＜1=tanα，從而0≤θ＜α，故軌跡為雙曲線的一部分．

利用解法3的思路，容易解答以下的高考試題:

例2如圖5，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是 ( )

A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支

(2015年浙江省數學高考文科試題第7題)

變式1將“動點P在底面ABCD上”改為“動點P在底面ADD1A1上”．

根據對稱性特點，同原題得到點P的軌跡為雙曲線的一部分，故選C．

圖5

圖8

解法2本題可參照2008年浙江省數學高考理科試題第10題，其實是一個平面斜截圓柱表面的問題．點P在以D1B為軸線的圓柱面上，又在平面ABCD內運動，則點P在圓柱面與平面的交線上，且滿足平面與圓柱的軸線斜交，從而可得點P的軌跡為橢圓，故選B．

注:根據平面與圓柱的軸線的不同位置得到不同截面形狀(如圖8所示)．

解析幾何中的圓錐曲線是平面截圓錐面所產生的截線，從軌跡觀點來看，又是空間中動點運動的軌跡．通過一道學考試卷中有關正方體軌跡問題的探討，讓我們更清晰地知道怎樣抓住數(定量分析:通過建系、列式求方程，再判斷形狀)與形(定性分析:需要深入了解曲線的定義與由來，再進行判定)2個角度解決此類問題．