一類數列不等式證明題的方法策略

●姚 杰 (湖州中學 浙江湖州 313000)

?

一類數列不等式證明題的方法策略

●姚 杰 (湖州中學 浙江湖州 313000)

證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧，從而充滿思考性和挑戰性，能全面綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材.這類問題中的典型代表即為證明“Sn<正常數”的題型，它的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規律進行恰當地放縮.下面談談處理這類問題的3種策略.

策略1 能求和，先求和.

1)求數列{an}的通項公式an；

(2013年江西省數學高考理科試題)

分析 1)過程略，解得an=2n.

2)因為an=2n，所以

從而

下面著重闡述無法求和的此種證明題的方法策略.

策略2 先放縮再求和，一般要么放縮成裂項相消求和，要么放縮成等比數列求和，都可以用待定系數法.

例2 在正項數列{an},{bn}中，a1=2,b1=4，且an,bn,an+1成等差數列，bn,an+1,bn+1成等比數列.

1)求數列{an},{bn}的通項公式；

(2015年浙江省湖州中學模擬考試題)

分析 1)過程略，解得an=n(n+1)，bn=(n+1)2.

所以

反思 待定出來的系數一定要經得住檢驗；如果前幾項不放縮的話,一定要注意n的范圍變化；待定系數的過程可以在草稿紙上進行，書寫出來的答案應該是想法成熟以后的結果.

例3 已知數列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=an+1-2n+1+1，且a1,a2+5,a3成等差數列.

1)求a1的值；

2)求數列{an}的通項公式；

分析 1),2)過程略.求得a1=1,an=3n-2n.

得

反思 放縮成等比數列的公比應該0

(2008年浙江省數學高考理科試題)

2)要證Sn>n-2，等價于證明∑(1-an)<2.左邊根據條件中的遞推式是可以用裂項相消法直接求和的，不需要放縮(證明過程略).

反思 若要證明的不等式2邊含有n，則相對簡單，因為任何含有n的式子f(n)，都能求出通項an=f(n)-f(n-1)(其中n≥2),所以只要比較通項的大小即可.麻煩的就是“常數”，因為通項求和以后通常不是一個常數，所以需要我們去尋找哪個通項求和以后去掉含有n的部分就是那個待證的常數，這是需要技巧的.這就是筆者為何只介紹證明“Sn<正常數”題型的方法策略的原因.

例5 數列{an}是公差不為0的等差數列，a5=6；數列{bn}滿足：b1=3,bn+1=b1b2b3…bn+1.

2)當a3>1且a3∈N*時，a3，a5，ak1，ak2，…，akn，…為等比數列．

①求a3；

分析 1),2)①略.

(注：若遇到“Sn>正常數”的情形，其實不用求和，一般可利用通項an>0，Sn遞增，只要Sn≥S1即可.)