善辟蹊徑 深化復習
——以阿波羅尼斯圓教學設計為例談微專題教學

●李寬珍 (溧水高級中學 江蘇溧水 211200)

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善辟蹊徑 深化復習
——以阿波羅尼斯圓教學設計為例談微專題教學

●李寬珍 (溧水高級中學 江蘇溧水 211200)

專題復習是高三數學復習后期的重要階段.它是在一輪復習的整體梳理、知識網絡建構之后，必須要經歷的以綜合訓練為主、以訓練解題能力和優化思維品質為最終目的的復習階段.如何提高這一階段的復習效率呢？筆者經過幾屆畢業班的教學實踐，發現在高三后期的專題復習中，微專題復習是對數學專題復習的有效補充，對學生掌握難點問題、查漏補缺有很好的幫助.近幾年的數學高考中，以阿波羅尼斯圓為背景的試題一度成為考查熱點，而此背景源自課本.由此，筆者基于課本資源開設了一節關于阿波羅尼斯圓及其簡單應用的微專題復習課，取得了良好的效果，筆者以此為例來談談實施微專題教學的幾個關鍵環節，僅供參考.

1 微專題課題的確定，遵循真、小、實的原則

微專題立足于學生的實際學習情況而選擇切口小、角度新、針對強的小專題.關注學情，難度適中；可以進行適度拓展，激發學生潛能.微專題的選題不求面面俱到，而是要結合復習的目標要求，針對學生在單元復習和大專題復習中暴露出的在知識、方法和能力等方面的薄弱環節，以學生復習中的“問題”促“專題”的生成，力求解決學生學習中的“真問題”、“實問題”.筆者設計本專題主要考慮以下3個因素：

1.1 學生的難點

筆者發現學生在多次的作業及考試中對隱含的阿波羅尼斯圓的關注度不是很高，從而導致這類題目答題的正確率較低.應該說，這類問題涉及到數形結合、轉化與化歸、函數與方程等多個知識點及思想方法，問題本身具有一定的綜合性.

1.2 考試的熱點

筆者查閱近幾年全國各地的數學高考題，有關阿波羅尼斯圓的問題出現在多個省份的高考題中，如2003年北京春季卷、2005年江蘇卷、2008年江蘇卷和四川卷，2009年江蘇卷、2013年江蘇卷、2014年湖北卷、2015年湖北卷等等，在這些題目中雖沒有直接出現阿波羅尼斯圓的概念，但經過推導、變形均能轉化得到阿波羅尼斯圓.

2 微專題課型的教學設計，注重知識的整合，突出以小見大

微專題教學的關鍵在于抓住課堂內容的“主線”，以“真問題”、“實問題”驅動教學，讓學生在真情境、真討論、真問題、真思考中學會學習，提出能體現核心要旨的“問題”，從而將豐富的教學內容整合成清晰的結構.

我們在對某一個微專題進行教學設計時，要以找到一條能串起零散問題的“主線”為目標，要注重揭示這些問題之間的內在邏輯關聯，這樣才能讓學生做到舉一反三、觸類旁通.要防止復習的“碎片化”，避免“就題論題”，將專題復習異化為對幾個題目的復習.

筆者分析，造成學生對阿波羅尼斯圓背景判斷困難的根本原因是沒有真正理解這類曲線的本質.因此，在本專題的設計中，筆者沒有像以往的一些專題復習課那樣，過多考慮題目的綜合性或新穎性，過多注重解題的技巧訓練，而是從一組課本的習題開始，以理解阿波羅尼斯圓的本質為主線，通過回顧課本習題，引導學生回歸問題的起點，真正達到“固本溯源、微中見著”的目的.通過梳理學生認知結構中已有的、相對“零散”的題組，以阿波羅尼斯圓的概念為核心構建這類問題的本質聯系，為學生以后解決這類問題形成了一條更為清晰的“線路圖”.本專題設計了以下幾個主要教學環節來實現以上目標.

活動1 課本溯源,奠定基礎

展示課本上的2道題：

例2 求平面內到2個定點A，B的距離之比等于2的動點M的軌跡方程.

(學生思考、自主解答，具體解答略.)

設計意圖 挖掘課本習題的教育功能和教學價值，讓學生體會到許多高考題都源于課本.

師：很好！這2道題都是研究了一個什么問題？

生：研究使是平面內到2個定點距離之比等于定值(大于0)的點的軌跡是什么？

師：對！這類研究平面內到2個定點距離關系的問題我們以前遇到過嗎？

生(經過回顧、思考)：有！學習過的橢圓和雙曲線就是這么定義的:

平面內到2個定點距離之和等于定值(大于2個定點間的距離)的點的軌跡是橢圓；

平面內到2個定點距離之差的絕對值等于定值(小于2個定點間的距離)的點的軌跡是雙曲線.

師：很好！那你認為如何研究它們的軌跡呢？

生：應該和橢圓、雙曲線的推導方法類似吧！

師：請同學們自己完成推導過程.

設計意圖 該問題旨在使學生深刻理解橢圓與雙曲線的定義，熟悉其標準方程的推導過程，強化分類討論的意識，滲透類比數學思想.

活動2 特殊到一般,完善定理

將課本習題一般化：設A，B是平面內的2個定點，平面內的動點M到點A的距離與到點B的距離的比為定值λ(其中λ>0)，求動點M的軌跡．

學生類比課本題的方法給出解決方法.

這個定理在高考題、模擬題中經常碰到，下面舉例說明.

活動3 數學運用,鏈接高考

(2008年江蘇省數學高考試題)

(2008年四川省數學高考理科試題)

答案：8.

例5 在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．

1)若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

2)若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

(2013年江蘇省數學高考試題)

設計意圖 由課本習題提煉出定理，再回到高考中體會試題出現的情境，讓學生體會這些高考題原來都是源于課本,接地氣，易于接受.

活動4 延伸拓展,深化思維

命題中涉及2個定點、1個定比、動點的軌跡方程.若將這些重新組合，改變它們的邏輯次序(在已知動點的軌跡的條件下)，能否可以得到新的結論呢？

這其實是我們經常遇到的一類定值問題：已知定點A、定點B、定圓C,求定值λ.

這其實也是我們經常研究的定點問題：已知定點A、定值λ、定圓C,求定點B.

這是我們常見的求定點問題：已知定圓C、定值λ,求定點A、定點B.

此問題即為常見的求定值、定點問題：已知定點A、定圓C,求定點B、定值λ.

將圓中的幾類定點、定值問題一線串之，讓學生從中看到問題的根源源于課本，認清本質，進而能做到運用自如.

3 微專題教學主題的選擇，突出見微知著

微專題教學的例題和習題選擇不要刻意求新求異，而是要立足于解決學生認知結構中的真問題，應選擇部分本專題具有代表性、可以從多個角度認識和解決、且具有深入探究的價值和思維含量的問題，這類題目能夠體現解決本專題問題的核心思想與方法.筆者認為選題時應重點關注以下幾個方面的習題.

3.1 源于“易錯易混點”的辨析

心理學家奧蘇貝爾說過：“影響學習的唯一最重要的因素就是學生已經知道了什么，要探明這一點，并據此進行教學.”學生的錯題是反映學情的第一手材料，特別是學生反復做錯的一些題目，更是我們要格外關注的問題.此外，選擇學生作業中相關的一些易錯易混題作為專題復習的素材還有助于引導學生養成回顧與反思的良好習慣.本課例所選的阿波羅尼斯圓就是學生在學習中遇到的易錯題.

3.2 源于課本習題的延伸

高考題的源頭是教材，這是高三復習必須研究和回歸的起點和終點.當前專題復習中對一些知識和方法交匯處的綜合題、高考題關注得比較多，而對課本的習題關注得不夠.課本的習題都是經過專家反復推敲的，最能反映相關數學知識和方法應用的典型題目，歷屆高考試卷中來自課本原題或改編題的考題比比皆是.因此，課本的習題理應成為復習的重點.本課例的背景就是來源于課本，以課本題展開并延伸拓展，讓學生對“高大上”的高考題不再畏懼.

3.3 源于典型的高考題

選擇一些典型高考題作為復習題,有助于我們在復習中準確把握高考的命題方向，克服復習中出現一些偏題、怪題.但在使用高考題時要注意和復習的專題相吻合，不可生搬硬套，沖淡復習的主題.本專題中的活動3選取了近幾年的高考題，讓學生體會阿波羅尼斯圓在高考題中的呈現形式.

4 微專題復習課的課堂教學，注重課堂的生成

課堂教學是預設和生成有機融合，預設是為了更好的生成.微專題復習課的教學中,更要給學生足夠的思考時間，讓學生回顧和梳理問題解答的過程，體會它們之間的本質聯系.最好讓學生自主生成串起這個專題的一條“主線”，進而在頭腦中形成對一類問題的本質認識.因此，微專題復習課的重點應放在學生對解決本專題問題的一般思想方法的生成上，而不是在單個題目的具體解法上，否則，這樣的專題教學會異化為同類題的綜合訓練，起不到專題復習的效果.在本專題的教學中，筆者將教學的重點放在以下2個方面:一是教會學生自主構建阿波羅尼斯圓定義的基本方法;二是讓學生體會函數與方程的聯系、數形結合、轉化與化歸等更一般的數學思想方法.

以上是筆者對微專題在高考數學復習中的一些實踐和思考，由于微專題是立足于具體的學情、教情和考情而靈活設置的專題，沒有現成的復習資料可以照搬，如何提高這種形式復習課的效果，還有待各位專家和同仁不斷研究和實踐，以更好地提高高考數學復習的有效性.