記一次課本習題的“淘寶”歷程

●張明遠 何文魁 張 博 (隴西縣第二中學 甘肅隴西 748100)

記一次課本習題的“淘寶”歷程

●張明遠 何文魁 張 博 (隴西縣第二中學 甘肅隴西 748100)

教材中的例(習)題是經過專家精心構思、反復推敲后選定的，具有起點低、入口寬、視角廣的特點，是高考復習之本，也是高考命題之源．深入研究例(習)題，揭示其深刻性，領悟其奧妙，對培養學生分析問題、解決問題的能力及抽象思維能力有著獨特的功效．課堂教學中，教師在引導學生完成例(習)題后，要有意識地引導學生對問題全方位、廣角度、多層次地進行引申、拓展，為學生提供教科書之外廣闊的探究空間，有助于激發學生的學習動力，實現知識的“再創造”，使學生的數學思維提高到一個由例及類的檔次，形成有效的“思維鏈”，達到“一題串一簇，一題聯一線”的境地．如果經常這樣做，學生頭腦里就能噴發出探究的“火花”，思維就能得到真正地提升．下面筆者從一道課本習題到高考題的演變說起，例談高考復習應從課本習題的后花園中“淘寶”，自覺挖掘課本習題的價值，傳遞課本習題承載的更多“能量”，追求課本習題的附加值．

1 問題呈現

問題1已知點A，B，C是拋物線y2=2px(其中p＞0)上的動點，且點A與點B關于x軸對稱．直線AC，BC分別交x軸于點D，E，求證:DE被點O平分．

(人教A版教材選修4-4“極坐標與參數方程”第34頁習題2．2第4題)

(人教A版教材選修4-4第34頁習題2．2第2題)

2 問題探究

從而|OP|·|OQ|=a2(定值)．

到此問題解答已圓滿結束，如果就題論題，缺乏對問題的類比遷移，無異于“登寶山而空返”(羅增儒語)．由于圓錐曲線具有“家族現象”，自然地思考這一結論對橢圓和雙曲線是否也成立?在元認知的指引下，先類比遷移到橢圓中去探個究竟．

3 問題拓展

故|OD|·|OE|=a2(定值)．

拓展2已知點A，B，C是橢圓上的3個動點，且點A與點B關于x軸對稱，直線AC，BC分別交y軸于點D和點E，探究點D與點E的縱坐標之間的關系．

仿拓展1，不難得到結論|OD|·|OE|=b2．

圖3

回顧反思拓展1后，發現|OD|·|OE|=a2(定值)．其中a是|OD|，|OE|的等比中項，由|OD|·|OE|=a2為定值，聯想到圓的切割線定理．如圖3，過線段DE的中垂線上的一點G為圓心、GD為半徑作⊙G，過點O引⊙G的切線，切點為P，則由圓的切割定理可知，|OD|·|OE|=|OP|2，則|OP|=a．設∠DOP=θ，由三角函數的定義不難得到點P的坐標為(acosα，asinθ)．OP是⊙G的切線，OED為⊙G的割線，由弦切角等于同弧所對的圓周角知，∠OPE=∠ODP，∠OEP=∠OPD．

進一步聯想會發現，對于給定的⊙G，存在過原點的2條直線的2個定點滿足∠OPE=∠ODP，∠OEP=∠OPD．

注:利用幾何畫板驗證，雙曲線也具有橢圓中這一類似的結論，并且|OP|·|OQ|的值為定值．感興趣的讀者可自行推導．

結語高三數學復習課應在教師深入理解教材和充分挖掘教材的前提下，適時、恰當地將結構良好(封閉性)的知識變為結構不良(開放性)的知識，引導學生積極主動參與問題探究的數學活動過程，這樣才能豐富他們數學活動的經驗，幫助他們提高“提出問題、分析問題、解決問題”的能力;這樣才能在做數學的活動過程中深化對數學的理解，感悟數學的本質．唯有如此，才能讓學生在數學課堂上走得更遠，真正讓數學課堂煥發出生命的活力．

綜上所述，對任意 x1，x2∈R，x1≠x2，|f(x1) －f(x2)|＜1．

4 總結反思