一道課本習題引發的學與教的思考

●金曉群 (青田縣第二中學 浙江青田 323900)

一道課本習題引發的學與教的思考

●金曉群 (青田縣第二中學 浙江青田 323900)

課本習題是數學教材的重要組成部分，通常情況下，它比作業本、教輔資料等其他習題更為典型、精致．深入地理解課本習題的設計意圖，并對某些習題進行自然、合理地挖掘開發，進而提升課堂教學的品質，應成為一線數學教師的不懈追求．筆者在組織浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》九年級下冊中2．2節“切線長定理”的課本習題(作業題A2)的教學時，課前對這道習題進行了有效的預設，課堂上又結合學生的實時表現，適當地對教學設計進行調整、改善，取得了不錯的效果．可貴的是，一道普通的習題還引發了教師、學生對數學教與學問題的深層思考，現記錄如下，供同行參考．

題目如圖1，O為Rt△ABC直角邊AC上的一點，以OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D，交AC于點 E．已知 AB=5，AC=4，求 BD的長和⊙O的半徑長．

圖1

圖2

1 學生解法展示

由勾股定理及切線長定理，容易求得BD=BC=3．在求⊙O的半徑時，學生在充分思考后，展示了5種不同的解法(如圖2):

展示了習題之后，筆者留給學生充分的時間進行求解與交流，堅持了“以學為中心、以學生為中心”的指導思想．出乎意料地，學生展示了5種解法，在課堂上完美地展現了“一題多解”的魅力．在這個環節中，由于學生們展示了不同的解法，借助表達、聆聽、質疑、解釋等方式，解題能力得到了鍛煉，而且思維變得更加靈活、開闊．

巧合的是，這5種解法都運用到一種重要的數學思想——方程思想．方程思想在初中數學中是一種非常重要、應用十分廣泛的數學思想，而要想讓學生真實、深刻地體會數學思想，卻并不容易．那么如何進行方程思想的滲透與落實呢?我們應該選擇什么樣的載體與著力點呢?“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費功夫”——該習題就是一個很好的選擇．

當然，單單選擇好范例，還不能算是成功的教學．為了使學生對方程思想有一個真切的認知，先對用方程解決問題的真實過程進行暴露是非常必要的．只有這樣，學生才能較深刻地感受到運用方程解決問題的好處，進而體會到掌握方程思想的必要性，也為后續關于方程思想的深入學習、靈活運用打下基礎．

2 解題之后，學生從“學”的角度進行思考

當然，僅僅是停留在學生們能用5種不同的方程解決問題，未免可惜．在筆者的指導與幫助下，學生們圍繞著以下5個問題進行思考，并在課堂上展示了思考成果．

問題1這5種解法的共同特點是什么?

學生思考顯而易見，這5種解法的共同特點是運用方程解決問題，具體地說，均是運用列方程的解法求線段的長．

問題2這5種解法所列的方程，其背后的根據分別是什么?

問題3這些“背后根據”為什么會提供方程?

學生思考這些方程背后的“根據”本身就是等式，而方程無非就是含有未知數的等式，因此這些“根據”為方程提供支持是非常自然的．

問題4列方程求線段長度的一般步驟是什么?

學生思考總體上說，可以用“設、表、列”這3個字來概括:第1步，假設相應的線段的長為某一未知數;第2步，用常數或含未知數的代數式來表示其他相關線段的長度;第3步，尋找到合適的等量關系，列出方程．

問題5本習題的求解對以后求解線段長度的問題有什么啟示?

學生思考在求線段的長度時，可以思考以列方程求解的形式來進行．而在構建方程前，可以先從相似三角形的對應邊成比例、勾股定理、面積公式、銳角三角函數、面積的和差關系、線段的和差等方面著手去尋找相應的等式．

由于本習題蘊含了濃厚的方程思想，因而上述過程中對學生“學”方面的思考是緊緊圍繞這一數學思想展開的．一直以來，教師們都非常清楚數學思想在學習數學中的重要作用，平時在教學中也非常重視數學思想的滲透與落實．與數學的基本知識與基本技能相比，數學思想有“看不到、摸不著”的特點．因此在實際教學中，主要是從教師的角度，直白地、貼標簽式地告知學生數學思想的名稱，學生并沒有發自內心地認同教師的講評，只是表面地知其然，而不知前后的所以然，因此教學效果通常并不理想．

以上的第1個環節借助比較，使學生對運用方程解決問題有一個初步的了解;第2個環節通過尋找每個方程背后的理由，使學生對本題的求解掌握得更為深刻，也為今后在其他情形下運用方程解決問題指明大概方向;第3個環節進一步地探索這些根據和方程的本質聯系，使學生感悟運用這些根據列方程的必然性;第4個環節借助對一般步驟的總結，讓學生更扎實地掌握運用方程思想解決問題的常規手段;最后的環節通過把解本題拓展至更大范圍、解更多題的猜想，讓學生在未來的解題活動中能有所準備，能更順利地求解其他題目．

在平常一些習題課的教學中，得出正確答案，教學也許就結束了，而這一次并不如此．在學生展示了不同解法的基礎上，筆者引導學生對相關的具有規律化、本質化的內容進行總結和反思，嘗試著從“怎么解”到“為什么這么解”層層遞進，以求達到“解一題、會一類”的效果，對學生以后的數學學習無疑具有很大的益處．

3 習題教學之后，教師從“教”的角度進行思考

本習題的求解與講評只是一堂新授課中的一個小小的片段，盡管這個習題難度并不大，但這個習題的求解及求解后對解法的總結，卻簡練而完整地體現了方程在求解線段長度時的魅力．在感嘆之余，筆者圍繞本習題的教學還有如下的思考:

思考1注重挖掘課本習題潛力

一堂新授課，要完成知識的落實與能力的提高，肯定是離不開題目的．在信息爆炸、題目泛濫的今天，如何選擇習題是擺在一線教師面前的一個大問題．其實，課本中的習題是與課本內容完美配套的，而且編寫的人員均是教材編寫方面的專家，因此課本中的習題應該成為我們組織課堂練習的首選．更重要的是，教師要做課堂教學的有心人，能從普通的課堂習題中，挖掘出不一般的數學教育價值．當然，這種拓展要適時、合理、自然、有效．

思考2重視引導學生進行解決習題之后的歸納總結

數學的題目不計其數，要想從題海中解脫出來，必須注重解題策略的總結．因此，在學生解決某類問題之后，我們應該從更高的角度來引導學生思考“能不能解決類似的問題，能不能尋找到這類問題的共同屬性，能不能用數學本質的眼光來看待問題”等問題．表面上看，在課堂上花在總結反思上的時間增多，完成的題目量減少，課堂效率可能會降低．但事實恰恰相反，只有注重這種反思，學生才能從根本上擺脫題目的束縛，更自由、更有效地學習數學知識，提升數學能力．在解題之后進行反思本應是一種必需的學習習慣，只不過由于教師或學生的浮躁，這種品質被邊緣化了，變得可有可無．考慮學生的長遠發展，教師必須要在這方面有所作為．

思考3注重提煉課本習題背后的數學思想解法

《新課標》提出:通過義務教育階段的學習，學生能“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，顯然，這樣的表述對數學思想的重要性給予了特別的強調．當然，數學思想作為數學的靈魂，它的重要性并不是課標制定的，而是學習數學、特別是解題的過程中自然體現的．數學習題無限多，為了使學生不被題海淹沒，也為了保持學生的學習興趣及未來可持續的學習動力，教師要有意識地對課本習題背后的數學思想進行提煉，并適時、合理地向學生滲透．

思考4習題中蘊含的數學思想的教學要“看得見、摸得著”

實際上，數學教師非常明白數學思想的重要意義，希望學生能馬上掌握各種數學思想．但這一行動一旦操之過急，學生數學思想的學習往往被教師越俎代庖，被教師以貼標簽的形式草草了之．由于不接地氣，學生對數學思想的感覺是表面的、不踏實的、虛幻的，效果自然也不理想．其實數學思想的教學是急不得的，它就好像品德教育一樣，需要學生慢慢地體會感悟，要有真實感知、扎實摸索、不斷反思的過程．因此，數學思想的教學需要教師為學生尋找合適的時間和載體，搭建展示的平臺，真實地展示學生在學習數學思想時或幼稚、或艱辛、或歡樂的足跡，盡量使數學思想解法的教學不一廂情愿、不故弄玄虛、不虛無縹緲，努力達到“看得見、摸得著”的效果．

作為從事一線教學的數學教師，我們應該做一個有心人，能從平平常常的教學素材中發現為我所用的精彩內容，并適時、適度地予以開發使用，為學生更有效地學習數學、更有興趣地學習數學、更長遠地學習數學，提供源源不斷的支持．