重視借題“發揮” 提高學生學習效能*

●郭建華 孫西洋 (南京市第二十九中學 江蘇南京 210036)

重視借題“發揮” 提高學生學習效能*

●郭建華 孫西洋 (南京市第二十九中學 江蘇南京 210036)

高三數學復習時間緊、任務重，特別是二輪復習．如何合理精選習題、科學設計教學、通過習題教學提升高三復習效益，是每一位高三一線教師認真思考的一個課題．

《高中數學新課程標準》強調:教師要讓學生體驗數學知識的發生、發展過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，了解知識的來龍去脈，使數學學習成為再發現和再創造的過程．而數學課堂設計借試題“發揮”，恰當地設置前置問題，目的是讓難以解決的問題擴大其“最近發展區”，為順利解題作好鋪墊，為學生搭建思維的腳手架，讓學生嘗試成功的喜悅，同時調動學生探究的積極性，拓展學生的思維，以此提升高三數學復習效益．

1 題目展示

圖1

筆者所教的班級是一個基礎較好的理科班．筆者先讓學生獨立思考，然后交流成果．

1．1 借答案不同，正本清源

師:好的，請你說說是怎么得到m+n=2的?

生2:當動圓Q的圓心為點C時，與邊BC交于點T，T恰好為BC的中點，聯結AT，此時m+n=2．

師:真不錯，生2肯動腦筋．問題是你怎么知道m+n=2就是最小的呢?還有沒有比2更小的值呢?

(生2思考了一會，不知道怎么說明2就是最小值．)

師:大家知道系數λ1，λ2具有什么性質嗎?生3:當 λ1+λ2=1時，點 A，P，B 共線．

師:當λ1+λ2≠1時，點P與直線AB又有什么樣的位置關系呢?

生3:當λ1+λ2越大時，點P距直線AB的距離越大．

師:你是怎么知道的?

生3:畫草圖，觀察出來的．

(教師讓其他同學都動手畫草圖，驗證該結論是否正確．)

師:大家能否嘗試證明這個結論呢?

(教師巡視，讓學生自主探究證明其結論．)

圖2

即x+y＞1．又過點P有且只有1條直線l與直線AB平行，再利用三角形相似性，易知直線l上每一個點對應的x+y值均為λ．因此點P距直線AB的距離越大，對應的x+y的值就越大．反之，也成立．

師:很漂亮，請同學們利用這個結論證明哪個答案是正確的．

于是生4給出其證明過程:

聯結BF，則BC⊥BF，作BF的平行線與以C為圓心的圓相切與于點T(即線段BC的中點)，即點P在點T處時，m+n取得最小值．同理，可求得m+n的最大值為5．

(學生的疑惑終于解決了，教室里響起了一片掌聲……)

師:下面，請同學們通過一組變式練習，來鞏固剛才大家學習的成果．

圖3

圖4

點評以上2道變式訓練題均以平面幾何為背景，是融向量與最值為一體的綜合問題，難度較大．考慮到幾何圖形的特殊性，恰當地建立平面直角坐標系，以坐標系為橋梁，用坐標和方程表示其中的幾何元素，再結合線性規劃思想，將問題中的幾何關系轉化為代數運算求解．

1．2 借一題多解，發散思維

圖5

圖6

解法2(共線向量定理)如圖6所示，設O為正六邊形的中心，則

1)當動圓Q的圓心經過點C時，與邊BC交于點P，點P為邊BC的中點，聯結OP，則

解法3(線性規劃)以正六邊形的頂點A為坐標原點、AB為x軸、AE為y軸建立直角坐標系．設 P(x，y)，易得

令m+n=z，畫出點P滿足的平面區域，易得m+n的取值范圍是［2，5］．

解法4(參數方程)建立同解法3的平面直角坐標系，易得

點評此題解法頗多，是一道提高學生解題能力、拓展學生思維能力以及值得開發利用的好題．依據學生已有的實際認知水平，教師要引導學生進行反思探究，啟迪學生思維，引發解題創新．在多種解法的探究中，不僅能讓學生體驗探索的快樂，而且能使學生加深對問題的認識．

2 幾點思考

2．1 在交流探究中暴露學生的思維過程

葉瀾教授曾說:“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程．”課堂教學過程是復雜的、豐富多變的，難免會遇到超出預設方案之外的新問題、新想法，教師應善待學生提出的“意外”問題，尊重學生的“話語權”，為學生營造一個敢于發表自己見解、勇于說出自己想法的平臺，適時調整教學設計方案，為學生的“動態生成”騰出一片廣闊的空間，并因勢利導，借題“發揮”，提升復習效益．

2．2 在比較中優化學生的思維能力

只有比較才能辨別優劣，只有比較才能使學生掌握更適合自己的解法．一題多解就是在比較中進行的，其目的要明確:不是解法越多越好，而應該選擇有助于提升學生思維能力、培養學生解題能力的解法．通過一題多解訓練，可以優化學生的解題思路，從而達到快速找準解決問題的方法．因此，解法比較可以不斷拓展學生的思維能力．

本文是江蘇省“十二五”重點資助課題《提高高中生學習效能的策略研究》(項目號:2013JK10－Z067)的研究成果之一．