把握核心本質 萬變不離其宗
——菱形視角下圓錐曲線問題的解答

☉安徽省宣城中學 陳光明

把握核心本質 萬變不離其宗
——菱形視角下圓錐曲線問題的解答

☉安徽省宣城中學 陳光明

圓錐曲線問題幾何關系錯綜復雜，常與菱形、平行四邊形等幾何圖形交織在一起，且運算煩瑣，因此針對不同的問題，采用相應的解題策略、將問題進行轉化變形，顯得至關重要.本文以以菱形為背景的圓錐曲線模擬題為引例，就相應的解題策略給予說明.

一、把握平面幾何特征，直接代數化

菱形是特殊的平面幾何圖形之一，對于以菱形為背景的試題，解題時要善于挖掘菱形的相關性質，如菱形是四條邊都相等的平行四邊形；對角線互相垂直且平分；對角線平分菱形面積等.

（1）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；

（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分.所以可設A（1，m）.代入橢圓方程，得即m=.所以菱形OABC的面積是

（2）假設四邊形OABC為菱形.

因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設直線AC的方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）.

設A（x1，y1），C（x2，y2），則.所以AC的中點為M

因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為-1.因為k·（ 1 ）≠-1，所以AC與OB不垂直.

4k-4k

所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾.

所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形.

評析：本題解答中充分把握菱形的幾何性質：對角線垂直且平分，以直線AC為主線，設出直線方程、交點坐標，將幾何特征代數化，進而解決問題.部分同學在解題中，因對條件的理解不到位，多余地引入了點B的坐標來表示OB的斜率，使問題復雜化，造成解題半途而廢.

二、利用幾何方法恰當轉化，間接代數化

在問題探究過程中，注意綜合運用合情推理與演繹推理、綜合法與分析法探索問題解決的思路，感悟數形結合思想、化歸與轉化思想在分析和解決這類問題中的作用.

（1）求橢圓M的方程.

（2）是否存在菱形ABCD，同時滿足下列三個條件：①點A在直線y=2上；②點B、C、D在橢圓M上；③直線BD的斜率等于1.如果存在，求出A點的坐標；如果不存在，說明理由.

由Δ=（6m）2-16（3m2-3）＞0，解得-2＜m＜2.所以BD的中點為

由BD垂直AC，得直線AC的斜率為-1.直線AC的方程為進而得點又Q為AC的中點，所以.而點C在橢圓上，故滿足橢圓方程，代入整理得7m2-40m+52=0，解得m=2或與-2＜m＜2矛盾.

故不存在滿足條件的菱形ABCD.

評析：在假設所求菱形存在的條件下，利用菱形的幾何特殊性，將問題轉化為判斷點C是否在橢圓上，結合判別式得出結論.

三、多角度分析，優化解題思維

圓錐曲線問題因計算煩瑣，使部分同學望而卻步.計算量大是事實，但在解題中如果采取恰當的策略，可使原本復雜的過程有效簡化.注意下筆前多從不同角度分析問題，并預測多種途徑的繁簡程度，以優化解題思路.

例3 同例2.

解法2：（1）同解法1.

（2）設線段BD的中點為Q（x0，y0），點A（t，2），B（x1，y1），D（x2，y2）.

由Δ=（2m）2-16（m2-3）＞0，解得-2＜m＜2.

因為四邊形ABCD為菱形，所以Q是AC的中點.

因為點C在橢圓M上，所以yC≥-1.這與yC＜-1矛盾.所以不存在滿足題意的菱形ABCD.

評析：本解法中，在得出點C的坐標后，不需代入曲線方程，結合判別式，將點C的縱坐標與-b進行比較，可直接判斷菱形ABCD是否存在，從而使計算量減少.

四、拓展思考

菱形是特殊的平行四邊形，可將條件一般化，即將菱形回歸于平行四邊形，進而鍛煉我們分析問題、解決問題的能力.

例4 設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓E上，且點P和F關于點

1）對稱.

（1）求橢圓E的方程.

（2）過右焦點F2的直線l與橢圓相交于A、B兩點，過點P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點Q，問：是否存在直線l，使得四邊形PABQ的對角線互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.

（2）由題意可知直線l、直線PQ的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-1），直線PQ的方程為

由題意可知Δ＞0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=

若四邊形PABQ的對角線互相平分，則PB與AQ的中點重合，所以即x1-x2=1-x3，故（x1+x2）2-.所以解得.所以直線l為3x-4y-3=0時，四邊形PABQ的對角線互相平分.

結論：存在直線l，使得四邊形PABQ的對角線互相平分.

評析：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，進而將問題轉化為判斷四邊形PABQ是否為平行四邊形.本題的求解中，利用了平行四邊形的對角線的中點重合的性質.另外由于平行四邊形的對邊平行且相等，已知邊PQ與AB平行，故令|PQ|=|AB|亦可將問題解決.A