追根溯源在課本
——解析2015年高三聯考壓軸填空題的“前世今生”

☉江蘇省句容市第三中學 余東云

追根溯源在課本
——解析2015年高三聯考壓軸填空題的“前世今生”

☉江蘇省句容市第三中學 余東云

一、真題再現

（2015年蘇錫常鎮四市第一次調研考試第14題）已知實數x、y滿足x＞y＞0，且x+y≤2，則的最小值為______.

此題作為壓軸的填空題呈現，從得分情況看，學生做的不夠理想.本題考查基本不等式、不等式的性質、二元代數式等基礎知識；考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力等基本能力；考查常值代換的解題方法和轉化與化歸、特殊與一般等數學思想.其實，本題源于課本，由課本中的習題一步一步演化延伸拓展而來.

二、逐步演變

1.原型簡約，體現三基

蘇教版必修5第106頁第16題：已知正數x、y滿足x+ 2y=1，求的最小值.

分析：這是一道非常典型的習題，蘊含著豐富內涵和背景，較好地考查學生的基本知識、基本方法和基本技能，題目結構簡單，解法較多.學生在解答時無任何障礙，較為簡單和常用的方法是常值代換，即將所求代數式中的“1”換成“x+2y”，或者乘以“x+2y”.過程如下.

2.改變系數，雛形初現

分析：由于“2x+2y=1”的右邊是常值“1”，仍然可以采用原型題的解法解決，難度沒有得到根本性的增加.

分析：“x+y=2”中的常值為“2”，解題時仍然要在所求代數式中乘以“x+y”，為確保相等，必須構造系數，難度初現.當且僅當即x=y=1時，取“=”.

3.變換結構，提升思維

分析：本次變式，對學生的分析能力、洞察能力要求較高，難度較大.解題時，要采用常值代換和整體代換的解題方法，即要發現代數式的兩個分母的關系，即（x+ 3y）+（x-y）=2（x+y）=4，而這在代數式中正好與已知條件相對應.這是建立在學生對式子結構分析的基礎上才能發現的，也是解決本題的關鍵.在所求代數式中乘以“x+ y”，為確保相等，必須構造系數.過程如下.當且僅當x=時，取“=”.

4.變式不等，壓軸成型

分析：本次變式，即為這道聯考題目，條件由等式關系變為不等關系，同時加上結構的煩瑣，在知識的理解上增加了障礙和懸念，學生會誤認為可用“線性規劃”來處理.在解法上也完全脫離了常值代換的背景，極難處理.同時，在解題過程中還要運用不等式的傳遞性.本題對基本知識、基本能力的要求極高，不愧為壓軸的填空題.過程如下.

由x+y≤2，得 1≥1②. x+y2

三、拓展延伸

解析：本次變式，是在聯考題的基礎上再進行的變式，難度進一步加大.已知代數式中的兩個分母的關系，即（x+4y）+（x-y）=2x+3y，不再像前幾次與已知條件的結果相對應，這樣的拓展，對學生的應變能力及綜合能力要求更高.讓2x+3y和x+y≤2建立關系是一個難點，要求學生想到利用待定系數法來配湊系數.因此，本題注重對學生數學綜合能力的考查，要求能夠綜合地應用基本不等式及不等式的知識，運用常值代換和待定系數法，來解決這類綜合性的問題.同時，本題也極大地挑戰了學生的心理承受能力及自信心.如果學生平時沒有進行大量類似的訓練及思考，是很難做出來的.過程如下.

令λ（x+4y）+μ（x-y）=x+y，即（λ+μ）x+（4λ-μ）y=x+y.

四、教學反思

縱觀近幾年全國各省市的高考數學試題及高三聯考試題可以發現，有很多題目都源于課本，都能在課本上找到原型.這類題都是以課本題為藍本，經過專家們匠心獨運，銳意創新，變換命題的視角和精心演變拓展而成，考查與原題有關的基礎知識、基本技能.它們緊扣課本和大綱，體現了基礎性和學好課本知識的重要性，有著較好的導向作用，對于引導師生重視基礎、重視教材、研究教材、用好和用活教材，均大有好處.

波利亞指出：“拿一個有意義又不復雜的題目去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”因此，在數學教學過程中，緊抓課本題目不放松，努力挖掘它們的最大課堂效益，不斷引導學生對解題過程進行反思、拓展、聯想、總結.善于將課本題目縱橫發散，層次深入，不斷延伸拓展，將問題合理演化，凝題成鏈，織題成網，讓課本習題成為學生鞏固知識，分析探究問題，提高能力，掌握思想方法的重要渠道，讓學生在題目的演變中學會發現、提出、分析及解決問題.使數學課堂解題教學達到既能讓學生跳出“題海”，提升解題的創新能力，又能培養學生應用觀察、猜想、抽象、概括、歸納、證明等手段解決問題的能力.

在高考復習中，教師一定要立足課本，回歸課本，強化對課本習題的研究，不能簡單的就題論題，而應進行適當地變化、引申和挖掘，揭示其有價值的新結論、新解法.這樣做不僅能使學生產生觸類旁通、舉一反三的學習效果，而且能開闊學生的思維，發揮一題多用的作用.同時要注重引導學生對課本習題進行一題多解，一題多變，挖掘出課本習題與高考試題的聯系，將課本習題進行組合、變式、引申，演變出高質量的備考題，使學生切實體會到加強課本習題研究在高考復習中的重要性，真正做到“以教材為本”，提高備考效果.A