一類“顯隱混搭型”分段函數的圖像及其應用
——以零點相關問題為例

☉山東省青島第二中學 牟慶生

一類“顯隱混搭型”分段函數的圖像及其應用
——以零點相關問題為例

☉山東省青島第二中學 牟慶生

一、策略分析

我們知道，圖像法是解決函數零點相關問題的重要手段，但本題中這類函數將如何作圖？讓我們從分析f（x）的構成入手：因為當x∈D1時，f（x）=g（x），即f（x）在D1上的圖像已定；但當x∈D2時，f（x）=Af（ωx+φ）+k，故f（x）在D2上的圖像未能直接給定.然而，y=f（x）與y=Af（ωx+φ）+k的圖像之間有著“天然”的聯系，所以我們只要以f（x）在D1上的圖像為起點，一步一步地往上“攀”（拾級而上），即可作出f（x）在D2上的圖像.為明晰圖像由來，先給出如下性質：

證明：因為當x∈［a，b］時，有f（x）=g（x），所以當xl∈［a，b］，即x∈（a+l，b+l］時，有f（x-l）=g（x-l）（迭代），由于（a+l，b+l］?（b，+∞），所以f（x）=f（x-l）+k=g（x-l）+k；再當x-l∈［a+l，b+l］，即x∈（a+2l，b+2l］時，f（x-l）=g（x-2l）+ k（再迭代），因為（a+2l，b+2l］?（b，+∞），所以f（x）=f（x-l）+k=［g（x-2l）+k］+k=g（x-2l）+2k；…；以此類推，故當x∈（a+nl，b+nl］（n∈N）時，f（x）=g（x-nl）+nk得證.

說明：由性質1的證明過程可知，此時分段函數f（x）可以寫成不難看出，f（x）在（a+l，b+l］上的圖像，可由f（x）在［a，b］上的圖像（即g（x）圖像）向右平移l個單位再向上平移k個單位（即沿向量m=（l，k）平移）得到；而f（x）在［a+2l，b+2l］上的圖像可由f（x）在［a+l，b+l］上的圖像沿向量m=（l，k）平移得到，…，即分段函數后一段上的圖像均可由前一段上的圖像沿向量m=（l，k）平移得到.需要指出，定義區間（a+l，b+l］、（a+2l，b+2l］、…都是區間（b，+∞）的子集，且（a+l，b+l］∪（a+2l，b+2l］∪…也是（b，+∞）的子集.

證明：因為當x∈［a，b］時，有f（x）=g（x），所以當ωx∈（a，b］，即x∈時，有（fωx）=g（ωx）（迭代），因為］?（b，+∞），所以f（x）=Af（ωx）=Ag（ωx）；再當ωx∈］，即x∈］時，（fωx）=Ag（ω2x）（再迭代），因為所以f（x）=Af（ωx）= A［Ag（ω2x）］=A2g（ω2x）；…；以此類推，故當x∈（n∈N）時，f（x）=Ang（ωnx）得證.