芻議向量在解決高中數學問題中的應用

李銀

內蒙古赤峰市克什克騰旗職業技術教育中心學校

為了更好的掌握和理解解題的技巧，在高中數學的學習中可以利用多種靈活的解題方式進行分析，而向量則是其中一種非常重要的靈活解題方式，在高中數學的許多內容中都可以應用。如不等式、三角函數、線性規劃、最值、離心率等方面。因此我們可以通過具體的問題來探究向量在解決高中數學問題方面的應用。

一、向量的概述

1.向量的概念

在高中數學中，通常把既有大小又有方向的量總結稱為向量，向量和普通的只有大小的數量不同，向量最為重要的特征就是其不僅有大小的數值還具有方向，通常情況下向量是用一條線段來表示，線段的長度就是向量的大小，也稱作向量的模。

2.高中數學向量教學的要求

（1）要通過向量背景的學習來了解平行向量以及相等向量的含義以及可以用幾何來正確的表示向量。（2）要通過具體的例子來懂得如何計算向量的加減法和乘除法，并充分的掌握其幾何意義，同時通過向量的共線含義，可以解答線性運算的問題。（3）要簡單的理解向量的基本定義，通過平面向量的正交分解的表示，來從坐標中繪制平面向量的加減和乘除運算。（4）通過物理學中有關功的例子，來掌握平面向量的數量積和投影之間的關系，并能夠進行數量積的運算。

3.學生向量知識學習的必要性

首先向量的最早應用是在物理學中，物理學和數學尤其獨特的共通行，通過向量的學習不僅可以解決數學中的問題還能解決物理問題，如加速度、力、位移等物理問題。再者空間向量的深入學習對數學平立體幾何的發展具有重要的作用，可以利用向量將空間幾何轉化成可以理解的代數形式。其次向量具有幾何和代數的雙重屬性，學生可以通過向量的學習來很好的掌握幾何和代數之間的聯系，從而為學生解題提供重要的工具支撐。

二、向量在解決高中數學問題中的應用

1.向量在解決幾何問題上的應用

高中數學的整體分支包括幾何知識和代數學習，幾何知識的學習和解答需要學生具備豐富的空間想象能力，在幾何問題中多為證明問題，需要學生通過一步又一步的分析和運算來證明題中需要證明的問題，因此對于高中數學的學習來說是一個非常重要的難點問題。例如我們可以從例1中進行分析：

例1：如圖1所示平行四邊形ABCD是正方形，BD為正方形ABCD的對角線，P為對角線BD上的一點，F為DC上一點，E為BC上一點，PECF為矩形，證明：（1）PA=EF；（2）PA⊥EF。

這道題是一道很簡單的平行和垂直證明的問題，我們可以用向量來證明，具體的解題思路：（1）運用向量我們建立直角坐標系，如圖2所示。（2）我們可以對點P進行坐標設置。（3）可以用點的坐標表示向量的坐標，然后進行解析證明。

證明：（1）如圖2，首先建立直角坐標系，設P（t，t），0≦t≦1,在這之中，AEF的坐標分別為：（0，1）、（t，0）、（1，t），所以AP=（t，t-1），EF=（1-t，t）.

所以|AP|=t2+（t-1）2=|EF|，即PA=EF；

（2）又因為AP·EF=（t1-t）+（t-1）t=0，所以AP⊥EF.

2.向量在解決不等式問題上的應用

高中數學的不等式問題也是教學內容的重點，在解答不等式問題時如果用常規的問題進行解析，將提高解題的難度，不利于學生的理解和學習，同時也浪費了學生解題的時間，但是如果可以將向量準確的應用其中，就是一種很有效率的解題方法，我們可以從例2中來看：

例2：已知x+y+z=1，證明：x2+y2+z2≧1/3

證明：設p=（x，y，z），q=（1，1，1），則|p·q|≦|p|·|q|。

所以|x+y+z|≦x2+y2+z2·3。

由此可以得出x2+y2+z2≧1/3

所以從該例題中我們得知當遇到不等式的問題時，向量的應用可以很好的轉化，運用向量假設的方法，將代數的不等式轉化成向量的不等式，然后運用代入的方法將不等式代入其中。這樣既可以節約學生的解題時間，又便于學生和判卷老師的理解，是解題的方式更加的靈活和方便化。

3.向量在解決三角函數問題上的應用

三角函數的學習不僅是高中教學的重點同時也是教學的難點，利用空間向量的方法可以很好的解答三角函數的問題，可以在簡化解答步驟的同時，降低解題的實際難度，同時還有利于對學生發散性思維的培養。我們可以從例3中進行分析：

例3：用向量的解法，求證cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

證明：設（e1，e2）為平面上的正交基，m，n為平面上的向量，假設m和e1之間的夾角為α，n和e2的夾角為β，并且向量m在（e1,e2）上的坐標為（cosα,cosβ）,n的坐標為（cosβ,cosβ）；

那么|m|=|n|=1。

則 m·n=|m|·|n|·cos（α-β）=（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ.

所以此命題成立。

結語

高中數學知識的學習內容和學習難度逐漸提升，而向量則是高中數學中非常重要的知識運用，它貫穿到學生解題的方方面面，所以通過向量的深入學習來解決高中數學中的重點題型，從而使解題的思路更加靈活。

[1]朱慶華.向量在解決高中數學問題中的應用研究[J].中學生數理化（嘗試創新版）,2014,(5):26.