圓錐曲線中的切點弦方程

陳紅明

湖北隨州一中

圓錐曲線中的切點弦方程

陳紅明

湖北隨州一中

過平面上一點如果可以作出某圓錐曲線的兩條切線，連接兩個切點即為此圓錐曲線的切點弦（若為雙曲線，需對其同一支作兩條切線）。設點P（x0，y0），過點P作出的切線分別為PA、PB，設切點A（x1，y1）、B（x2，y2），則如何求出切點弦AB所在的直線的方程呢？下面作一簡單的歸納和總結。

（一）圓的切點弦的方程

設圓C（C為圓心）的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2

即為(y-y1)(y1-b)+(x1-a)(x-x1)=0

變形（y-b+b-y1）(y1-b)+(x1-a)(x-a+a-x1)=0

即為（y-b）(y1-b)-(y1-b)2+(x1-a)(x-a)-(x1-a)2=0

由③④可得lAB：（x-a）(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2

特別地：圓x2+y2=r2的切點弦方程為：xx0+yy0=r2

（2）橢圓的切點弦方程

設橢圓C的方程為

(方法一)設lPA：y-y1=k1(x-x1)

故lPA

同理lPB：

將點P（x0、y0）代入⑤、⑥得

由⑦⑧可得

（方法二）設直線L與橢圓兩點，設中點為Q（x‘、y'），由點差法易得kmn·

將直線MN平移到與橢圓相切，上述法論仍然成立，此時有

關于點A（x1、y1）對稱的橢圓

由⑨-⑩可得下同方法一。

（3）雙曲線的切點弦方程

（4）拋物線的切點弦方程：

設拋物線C：y2=2PX(P＞0)

(方法一)設LPA：y=k1(x-x1)+y1

將點P（x0、y0）代入（11）、（12）得

由（13）、（14）可得LAB：yy0=px0+px

(方法二)先求出x2=2Py(P＞0)的切點弦方程

從而得出LPA：x1x=py+py1

LPB：x2x=py+py2

將（15）中的x、y及x0、y0互換，即可得到y2=2Px(P＞0)的切點弦方程。

（方法三）對y2=2Px兩邊對x求導，得