在“圓錐的體積”教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想

王紅珍

[摘 要]數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)必須滲透的思想方法之一。以“圓錐的體積”教學(xué)為例，讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗證—應(yīng)用”的知識過程，培養(yǎng)學(xué)生自主獲取知識的能力。

[關(guān)鍵詞]模型思想 圓錐的體積 數(shù)學(xué)模型

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）02-92

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。”由此可見，模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)必須滲透的思想方法之一。因此，在教學(xué)時，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，力求構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。下面就以“圓錐的體積”為例，談?wù)勅绾螡B透數(shù)學(xué)模型思想，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

[片段一]創(chuàng)設(shè)情境，初步感知數(shù)學(xué)模型

師（課件出示）：小麥豐收了！看，小麥堆得像小山一樣（麥堆近似于圓錐），小虎和爺爺笑得合不攏嘴。這時，爺爺用竹子量了量麥堆的高和底面直徑，給小虎出了一個難題——你能算出這堆小麥大約有多少立方米嗎？這下難住了小虎。今天，我們來研究圓錐的體積。（板書課題：圓錐的體積）圓錐的體積可能與哪種立體圖形的體積有關(guān)？

生1：可能與圓柱的體積有關(guān)。

生2：因為它們都是旋轉(zhuǎn)體。

師：請同學(xué)們回憶一下，在學(xué)習(xí)圓柱的體積推導(dǎo)過程中，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生3：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

師：你說的很準(zhǔn)確！仔細(xì)觀察，看看又能發(fā)現(xiàn)什么？

生4：圓錐的底面和圓柱的底面完全重合。

生5：它們的高相等。

師：也就是說，它們是一組等底等高的圓柱和圓錐。猜想一下，它們的體積會有什么關(guān)系？

生6：圓柱的體積可能是圓錐的2倍。

生7：圓柱的體積可能是圓錐的3倍或4倍。

集生活味、數(shù)學(xué)味、趣味性與挑戰(zhàn)性為一體而創(chuàng)設(shè)的情境，以學(xué)生已有認(rèn)知為起點，通過猜想圓柱與圓錐的體積關(guān)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)的同時直奔主題。

[片段二]參與探究，自動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

師：各小組根據(jù)老師提供的實驗器材，開展實驗，填寫實驗報告單，驗證猜想。

生1：圓柱和圓錐等底不等高，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才裝滿。

生2：圓柱和圓錐等高不等底，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了兩次，又倒了一些，才裝滿。

生3：圓柱和圓錐等底等高，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了三次，正好裝滿。

生4：圓柱和圓錐不等底不等高，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了四次多一些……

師：想一想，在什么情況下，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了三次，正好裝滿？

生5：只有在等底等高的情況下，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了三次，正好裝滿。

本環(huán)節(jié)充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生自己做、自己想。為了克服實驗誤差對圓錐體積計算公式的推導(dǎo)造成的影響，教師及時進(jìn)行課件演示，通過比較、分析、推導(dǎo)出圓錐體積的計算公式，讓學(xué)生初步學(xué)會運用實驗的方法探索新知識。

[片段三]解決問題，拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

1.基礎(chǔ)練習(xí)：一個圓錐的底面積是19平方厘米，高是12厘米。它的體積是多少？

2.綜合練習(xí)：麥堆的高為1.2米和底面直徑為4米，求麥堆的體積。如果每立方米小麥大約重735千克，這堆小麥大約有多少千克？（得數(shù)保留整千克數(shù)）

3.拓展練習(xí)：有一根底面直徑是6厘米，長是15厘米的圓柱形鋼材，要把削成與它等底等高的圓錐形零件，要削去鋼材多少立方厘米？

基礎(chǔ)練習(xí)是圓錐體積公式的直接應(yīng)用；綜合練習(xí)和拓展練習(xí)不僅是公式的靈活應(yīng)用，還讓學(xué)生經(jīng)歷生活問題數(shù)學(xué)化的過程，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值。練習(xí)設(shè)計突出了實效性、層次性和生活性，力求落實“下要包底，上不封頂”的教學(xué)理念。

[教后反思]

本節(jié)課學(xué)生經(jīng)歷了“猜想——驗證——應(yīng)用”的知識建構(gòu)過程，滲透了數(shù)學(xué)模型思想，建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型。

1.猜想驗證——培養(yǎng)自主獲取知識的能力

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”因此，在教學(xué)時，要利用學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，讓學(xué)生自己猜想、自己驗證、自己總結(jié)，自主解決問題，培養(yǎng)學(xué)生自主獲取知識的能力。

2.親身經(jīng)歷——關(guān)注知識的形成過程

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識應(yīng)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運用的過程。”本節(jié)課，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗，自主發(fā)現(xiàn)圓錐體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一，導(dǎo)出公式：V= ■Sh。這樣，既發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，又培養(yǎng)了學(xué)生獨立思考和合作交流的能力，讓學(xué)生享受成功的喜悅。

總之，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程，逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情景，學(xué)生在主動探索的過程中，進(jìn)行了再創(chuàng)造學(xué)習(xí)，以抽象概括方式自主總結(jié)出圓錐體積計算公式。

（責(zé)編 金 鈴）