巧用“軸對稱”解決最小值問題

徐瑾

軸對稱是中學數學的重要內容之一，這部分知識不僅是中考的必考內容. 而且應用這部分知識能解決生活中的一些實際問題，在近幾年的中考中，利用軸對稱性質求最短距離的試題經常出現，試題雖然花樣翻新，但其實質還是一樣的，下面舉幾個例子說明，以幫助同學們學習.

例1 （2013·大連）如圖1，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（ ）.

A. B. 3

C. 4 D.

【分析】正方形是軸對稱圖形，點B與D關于AC對稱，所以BE與AC的交點即為P點.而等邊△ABE的邊BE=AB，由正方形ABCD的面積為16，求AB的長從而得出結果.

解：設BE與AC交于點P′，連接BD、P′D，如圖2.

∵點B與D關于AC對稱，∴P′D=P′B，

∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE.

∵正方形ABCD的面積為16，

∴AB=4，又∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=4.故選C.

【點評】本題考查的是正方形的性質和軸對稱中的最短路線問題，要熟知“兩點之間，線段最短”.

例2 （2009·連云港）如圖3，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，點P是腰AD上的一個動點，要使PC+PB的值最小，則點P應該滿足（ ）.

A. PB=PC B. PA=PD

C. ∠BPC=90° D. ∠APB=∠DPC

【分析】本題關鍵首先確定P點的位置，根據軸對稱的知識，可知作點C關于AD的對稱點E，連接BE，BE與AD的交點就是點P的位置，再利用軸對稱和對頂角相等的性質可得.

解：如圖4，作點C關于AD的對稱點E，連接BE交AD于P，連接CP.

∴∠DPC=∠EPD，

∵∠APB=∠EPD，

∴∠APB=∠DPC.故選D.

【點評】此題的關鍵是應知點P是怎樣確定的.要找直線上一個點和直線同側的兩個點的距離之和最小，則需要利用軸對稱的性質進行確定.

例3 （2015·賀州）如圖5，等腰三角形ABC底邊BC的長為4 cm，面積是12 cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一動點，則△BDM的周長最短為_______cm.

【分析】如圖6，連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC.根據三角形的面積公式求出AD的長，再根據EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此可得出結論.

解：∵△ABC是等腰三角形，D是BC邊的中點，∴S△ABC=BC·AD=×4×AD=12，

∴ AD=6 cm.

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴點B和點A關于直線EF對稱，

∴AD的長為BM+MD的最小值，

∴△BDM的周長最短=（BM+MD）+BD =AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）.

故答案為：8.

【總結】已知兩定點與一直線，欲在直線上取一點，使該點到兩定點的距離和最小.這種題可分兩類：一類是當兩點在該直線的兩側時，根據兩點之間線段最短，可連接這兩點，這兩點連線與這條直線的交點就是所求點，另一類當兩點在同側時，任作一定點關于該直線的對稱點，再連接對稱點與另一定點，其連接線與該直線的交點就是要求的點.

例4 （2012·蘭州）如圖7，四邊形ABCD中∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數為（ ）.

A. 130° B. 120°

C. 110° D. 100°

【分析】要使△AMN的周長最小，利用點的軸對稱，讓三角形的三邊轉換到同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案.

解：如圖8，作A關于BC和CD的對稱點A′、A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″的長度即為△AMN的周長最小值.作DA延長線AH.

∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）

=2×60°=120°，故選B.

【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題、軸對稱的性質、三角形的內角和定理、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，確定出點M、N的位置是解題的關鍵.

【小結】兩個動點難以把握，關鍵是如何使變化的三條邊的和最小，我們只需要利用軸對稱，將變化的三條邊能組成一條線段，便可利用“兩點之間線段最短”求解.

（作者單位：江蘇省常熟市興隆中學）