兩 “線”定 “形”

張妹燕

蘇科版八（上）64頁例2：

已知：如圖1，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC.

求證：AB=AC.

【分析】要判斷一個三角形是等腰三角形一是根據定義，二是根據“等角對等邊”.本題根據已知條件“角平分線”和“平行”都能轉化成角來說明，所以選擇方法二.

【反思】（1） 將條件“AD平分∠EAC”和結論“AB=AC”互換，命題是否仍然成立？

（2） 將條件“AD∥BC”和結論“AB=AC”互換，命題是否仍然成立？

（3） 如果將外角平分線改成內角，是否仍有上述關系呢？

認真思考后你會發現（1）（2）都是真命題，在平行線、角平分線和等腰三角形這三個知識點中只要滿足兩個條件就可以推出第三個成立.（3）的問題如圖2，和剛剛的書本例題一樣都成立，如“已知BD平分∠ABC， DE∥BC，則BE=ED”.它們是靠“角”得來的等量代換.

【深入研究】變式1 如圖3，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點O，過點O作DE∥BC交AB于D，交AC于E.

（1） 若AB=4，AC=3，求△ADE周長.

（2） 若將原題中平行線DE的方向改變，如圖4，OD∥AB，OE∥AC，BC=6，你能得出什么結論呢？

【分析】（1） 從圖3我們不難發現本質上這題是在圖2的基礎上又增加了一個內角平分線，所以通過上面的基本圖形的結論馬上可以得到兩個等腰三角形，即BD=DO，CE=EO，雖然不能直接求出△ADE的各邊長，但通過剛剛得到的邊的等量代換易得AD+DO=AB，AE+EO=AC，從而可求得C△ADE=AB+AC=7.

（2） 圖4中的平行線和角平分線也同時具備，因此同樣可以得到△BDO、△OEC為等腰三角形，只是位置有所改變，所得到的結論稍有改變，應該是△ODE的周長為定值，剛好為BC的長.解題的關鍵是能把握住條件所帶來的信息，熟悉基本圖形.

【反思】求線段的長往往都是用等量代換或者倍數關系來解決；求三角形的周長時往往會需要考慮將部分線段整體代換來求得總長，而“平行線、角平分線”是一個比較好的代換平臺.

變式2 如圖5，已知△ABC中的∠ACB的外角平分線CD與∠ABC的平分線BD交于點D，過D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，試說明EF、BE和CF的數量關系.

【分析】一般三條線段的數量關系有：（1）a=b=c，（2）a+b=c.從圖中明顯可以排除第（1）種情況，所以直接考慮第（2）種情況.從條件DE∥BC、BD平分∠ABC可得BE=DE，從DE∥BC、CD平分∠ACG可得CF=DF，因為圖中EF+FD=ED，所以EF+CF=BE.

【反思】本題還是借助了書本例題中所得到的基本圖形，只是角平分線換成了一內一外且在不同的頂點處，但還是能得到兩個等腰三角形，從而證明了線段之間所存在的數量關系.只要能看到“平行—角平分線—等腰”這個三角組合，這道題就非常容易解答.

從上面的結論，我們還可以繼續考慮：

如果這一內一外的角平分線是在同一個頂點處時又是什么樣的結論？也就是將“BD平分∠ABC”換成“CE平分∠ACB”，其余條件不變，不妨請同學們動手試一試吧！

變式3 如圖6，AD是∠BAC的平分線，點E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于點F.試說明：EC平分∠DEF.

【分析】本題中最明顯的一個特征是存在全等三角形，即△AED≌△ACD（SAS），而這對全等三角形可以得到一組對應邊相等ED=CD，再由EF∥BC，又得到了“三角組合”，從而得到所要證明的結論.

【反思】幾何證明不可能一步到位，很多都要轉幾個彎才能完成，分析時要從條件出發，一個已知條件能推出什么，幾個已知條件組合在一起又能得到哪些結論.比如這題中單看AE=AC，想到等邊對等角，但和“AD是∠BAC的平分線”放在一起看就能得到更多的結論，另外還要從結論上倒推，要證明“EC平分∠DEF”，從基本圖形著手只要增加等腰即ED=CD就行，兩項一結合就能找到證明的思路.

復雜圖形其實都是由一些基本圖形組合而成，仔細觀察、思考，學會將圖形逐個分解，對于解題事半功倍.

（作者單位：江蘇省常熟實驗中學）