兩 “線”定 “形”

張妹燕

蘇科版八（上）64頁例2：

已知：如圖1，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC.

求證：AB=AC.

【分析】要判斷一個(gè)三角形是等腰三角形一是根據(jù)定義，二是根據(jù)“等角對等邊”.本題根據(jù)已知條件“角平分線”和“平行”都能轉(zhuǎn)化成角來說明，所以選擇方法二.

【反思】（1） 將條件“AD平分∠EAC”和結(jié)論“AB=AC”互換，命題是否仍然成立？

（2） 將條件“AD∥BC”和結(jié)論“AB=AC”互換，命題是否仍然成立？

（3） 如果將外角平分線改成內(nèi)角，是否仍有上述關(guān)系呢？

認(rèn)真思考后你會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）（2）都是真命題，在平行線、角平分線和等腰三角形這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)中只要滿足兩個(gè)條件就可以推出第三個(gè)成立.（3）的問題如圖2，和剛剛的書本例題一樣都成立，如“已知BD平分∠ABC， DE∥BC，則BE=ED”.它們是靠“角”得來的等量代換.

【深入研究】變式1 如圖3，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC交AB于D，交AC于E.

（1） 若AB=4，AC=3，求△ADE周長.

（2） 若將原題中平行線DE的方向改變，如圖4，OD∥AB，OE∥AC，BC=6，你能得出什么結(jié)論呢？

【分析】（1） 從圖3我們不難發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上這題是在圖2的基礎(chǔ)上又增加了一個(gè)內(nèi)角平分線，所以通過上面的基本圖形的結(jié)論馬上可以得到兩個(gè)等腰三角形，即BD=DO，CE=EO，雖然不能直接求出△ADE的各邊長，但通過剛剛得到的邊的等量代換易得AD+DO=AB，AE+EO=AC，從而可求得C△ADE=AB+AC=7.

（2） 圖4中的平行線和角平分線也同時(shí)具備，因此同樣可以得到△BDO、△OEC為等腰三角形，只是位置有所改變，所得到的結(jié)論稍有改變，應(yīng)該是△ODE的周長為定值，剛好為BC的長.解題的關(guān)鍵是能把握住條件所帶來的信息，熟悉基本圖形.

【反思】求線段的長往往都是用等量代換或者倍數(shù)關(guān)系來解決；求三角形的周長時(shí)往往會(huì)需要考慮將部分線段整體代換來求得總長，而“平行線、角平分線”是一個(gè)比較好的代換平臺(tái).

變式2 如圖5，已知△ABC中的∠ACB的外角平分線CD與∠ABC的平分線BD交于點(diǎn)D，過D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，試說明EF、BE和CF的數(shù)量關(guān)系.

【分析】一般三條線段的數(shù)量關(guān)系有：（1）a=b=c，（2）a+b=c.從圖中明顯可以排除第（1）種情況，所以直接考慮第（2）種情況.從條件DE∥BC、BD平分∠ABC可得BE=DE，從DE∥BC、CD平分∠ACG可得CF=DF，因?yàn)閳D中EF+FD=ED，所以EF+CF=BE.

【反思】本題還是借助了書本例題中所得到的基本圖形，只是角平分線換成了一內(nèi)一外且在不同的頂點(diǎn)處，但還是能得到兩個(gè)等腰三角形，從而證明了線段之間所存在的數(shù)量關(guān)系.只要能看到“平行—角平分線—等腰”這個(gè)三角組合，這道題就非常容易解答.

從上面的結(jié)論，我們還可以繼續(xù)考慮：

如果這一內(nèi)一外的角平分線是在同一個(gè)頂點(diǎn)處時(shí)又是什么樣的結(jié)論？也就是將“BD平分∠ABC”換成“CE平分∠ACB”，其余條件不變，不妨請同學(xué)們動(dòng)手試一試吧！

變式3 如圖6，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于點(diǎn)F.試說明：EC平分∠DEF.

【分析】本題中最明顯的一個(gè)特征是存在全等三角形，即△AED≌△ACD（SAS），而這對全等三角形可以得到一組對應(yīng)邊相等ED=CD，再由EF∥BC，又得到了“三角組合”，從而得到所要證明的結(jié)論.

【反思】幾何證明不可能一步到位，很多都要轉(zhuǎn)幾個(gè)彎才能完成，分析時(shí)要從條件出發(fā)，一個(gè)已知條件能推出什么，幾個(gè)已知條件組合在一起又能得到哪些結(jié)論.比如這題中單看AE=AC，想到等邊對等角，但和“AD是∠BAC的平分線”放在一起看就能得到更多的結(jié)論，另外還要從結(jié)論上倒推，要證明“EC平分∠DEF”，從基本圖形著手只要增加等腰即ED=CD就行，兩項(xiàng)一結(jié)合就能找到證明的思路.

復(fù)雜圖形其實(shí)都是由一些基本圖形組合而成，仔細(xì)觀察、思考，學(xué)會(huì)將圖形逐個(gè)分解，對于解題事半功倍.

（作者單位：江蘇省常熟實(shí)驗(yàn)中學(xué)）