“軸對稱圖形”難點剖析

王裕龍

軸對稱是現實生活中廣泛存在的現象，同學們通過欣賞生活中的軸對稱圖形的實例，經歷觀察、比較、探索、分析等數學活動，認識了軸對稱圖形，了解了軸對稱圖形的性質，并利用軸對稱變換，探索得到等腰三角形的性質，知道等腰三角形的判定定理，再進一步學習了等邊三角形的性質與判定.

本章是初中幾何中的重要內容，也是我們中考常考的考點.下面就本章中幾個常見的難點問題進行剖析，為同學們解題提供幫助.

一、 軸對稱圖形的設計

例1 如左圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個小正方形所形成的圖案，再將方格內空白的一個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的涂法有_______種.

【分析】根據軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某條直線翻折，直線兩旁的部分能夠完全重合，則是軸對稱圖形.左圖關于正方形的一條對角線成軸對稱圖形，那么涂黑的小正方形應關于這條對角線也成軸對稱圖形.

解：在1，2，3處分別涂黑都可得一個軸對稱圖形，故涂法有3種.故答案為：3.

【小結】本題是對軸對稱圖形概念的考查，關鍵要找出對稱軸，從而作出軸對稱圖形.

二、 線段的最短問題

例2 某班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖3中的OM，ON），OM桌面上擺滿了橘子，ON桌面上擺滿了糖果，坐在A處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短，并說明理由.

【分析】這是一道實際生活問題，而將其轉化為數學問題是解決本題的關鍵：（1） 將其轉化為數學模型：如圖3，A是銳角∠MON內的一點，在OM、ON上求出B、C，使△ABC的周長最小，即AB+BC+AC的和最小；（2） 利用軸對稱的性質，將AB、AC分別轉化為A′B、A″C，此時就是求A′B +BC+A″C的和最小，根據兩點之間線段最短，點B、C在A′A″連線上.

解：分別作點A關于OM、ON的對稱點A′、A″，如圖4.

根據軸對稱圖形的性質得到：AB=A′B，AC=A″C，所以AB+BC+AC=A′B + BC+A″C.要使AB+BC+AC最小，就是要使A′B + BC+A″C最小.根據兩點之間線段最短，當點B、C在A′A″上時，A′B + BC+A″C最小，最小值為A′A″的長度.

【小結】當遇到要求幾條線段長度之和最小時，我們可以利用軸對稱的性質轉化為兩點之間線段最短的問題.

三、 翻折問題

例3 如圖5，點D為邊AB的中點，過點D作DE∥BC，將△ABC沿線段DE翻折，使點A落在點F處，若∠B=50°，則∠BDF=_______.

【分析】根據軸對稱圖形的性質，連接對稱點AF，這樣對稱軸DE就垂直平分AF，因為DE∥BC，所以AF⊥BC，即∠AFB=90°.而因為D為邊AB的中點，根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，得到DF= AB，即BD=DF，所以∠DBF=∠DFB=50°，所以∠BDF=80°.

【小結】翻折問題大多會用到軸對稱的性質，解決此類問題時，要注意利用數形結合，有時還要注意應用分類思想、方程思想，注意翻折時的對應關系.

四、 等腰三角形軸對稱性的綜合運用

例4 如圖6，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB于D，CE平分∠BCD交AB于E，AF平分∠CAB交CD于F，交CE于G. 求證：EF∥BC.

【分析】要證EF∥BC，根據內錯角相等，兩直線平行，可以先證∠FEC=∠BCE，而∠FCE=∠BCE，所以就要證∠FCE=∠FEC，根據等邊對等角，就要證CF=EF.可以證FG垂直平分CE，根據“三線合一”定理，就要證AC=AE，即∠ACE=∠AEC.由已知條件∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，根據“三線合一”定理，證得∠ACD=∠BCD=45°，因為CE平分∠BCD，得∠ECB=∠ECD=22.5°，就可證得∠ACE=∠AEC =67.5°，從而證得AC=AE.根據前面的分析，這樣就可以證得EF∥BC.

證明：∵CA=CB，CD⊥AB于D，

∴CD平分∠ACB.

∴∠ACD=∠BCD=∠ACB.

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCD=45°.

∵CE平分∠BCD，

∴∠ECB=∠ECD=∠BCD=22.5°.

∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=67.5°.

∵∠CAD=45°，

∴∠AEC=67.5°.

∴∠ACE=∠AEC. ∴AC=AE.

∵AF平分∠CAB，

∴AG⊥CE，G為CE中點.

∴FG垂直平分CE.

∴CF=EF.

∴∠FCE=∠FEC.

∵CE平分∠BCD，

∴∠FCE=∠BCE.

∴∠FEC=∠BCE.

∴EF∥BC.

【小結】這道題綜合性比較強，同學們在遇到類似問題時，要認真審題，注意已知條件的使用，發掘隱含條件；在處理這類問題時，我們可以從結論出發尋求突破點，采用逆推的思路來解決.

（作者單位：江蘇省常熟市王莊中學）