掌握基本概念是學好幾何的開始

黃欲涵

在我們生活的周圍有許多軸對稱的圖案，為了更好地認識它們，在此安排了一些基礎知識來讓同學們領悟其基本的特點，比如我們學習了軸對稱的性質、線段和角的軸對稱性、等腰三角形的軸對稱性. 首先回顧一下本章中的一些基本概念.

一、 線段的軸對稱性

1. 線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線就是它的對稱軸.

2. 線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.

3. 線段的垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.

例1 如圖1，若該小船從點A航行到點B的過程中先要到達岸邊l的點P處補給后，再航行到點B，但要求航程最短，試在圖中畫出點P的位置.

【解析】如圖2，點A′與點A關于直線l成軸對稱，連接A′B交直線l于點P，則點P為所求.

例2 如圖3，已知AB=AC，DE垂直平分AB，交AB、AC于D、E兩點，若AB=12 cm，BC=10 cm，求△BCE的周長.

【解析】本題利用題中條件DE垂直平分AB，得到AE=BE，△BCE的周長就轉化為BC與AC兩條線段的和，所以l△BCE=22 cm.

【點評】這題考查了線段的垂直平分線的性質，是典型的線段轉化問題.

二、 角的對稱性

1. 角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.

2. 角平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

3. 角平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

例3 如圖4，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC. BE與DF相等嗎？請說明理由.

【解析】題中的條件滿足角平分線的性質，容易得到CF=CE，再結合題中給出的條件BC=DC，利用直角三角形全等的判定“HL”定理證明△FDC≌△EBC，由全等三角形的對應邊相等得到BE=DF.

【點評】本題主要利用角平分線的性質得到兩直角三角形的一對直角邊對應相等，從而用全等三角形的知識解決問題，所以由題目的條件聯想得到對應的結論，是我們做幾何題的常用思路.

例4 如圖5，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A、B. 下列結論中，不一定成立的是（ ）.

A. PA=PB B. PO平分∠APB

C. OA=OB D. AB垂直平分OP

【解析】由角平分線的性質可得PA=PB，故A選項正確，再用角平分線的判定說明B也是正確的，利用直角三角形全等的判定“HL”定理證明△AOP≌△BOP，得到C也是正確的，所以最后D是不一定成立的.

【點評】綜合考查了角平分線的性質和判定，同時考查了直角三角形全等的判定方法.

三、 等腰三角形的對稱性

1. 等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線所在直線是它的對稱軸.

2. 等腰三角形的性質：①等邊對等角；②三線合一.

3. 等腰三角形的判定：等角對等邊.

例5 如圖6，已知AB=AC，AD=AE.求證：BD=CE.

【解析】過A作AG⊥BC.

∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=CG.

又∵AD=AE， AG⊥BC，

∴DG=EG. ∴BD=CE.

【點評】本題考查了等腰三角形“三線合一”性質，所以看見等腰三角形就要想到“三線合一”，作出底邊上的高線，這是解決等腰三角形相關問題常規的添線方法.

例6 如圖7，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AE平分∠CAB交CD于點F.試說明CE=CF.

【解析】∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°.

∵CD⊥AB于點D，

∴∠B+∠BCD=90°.

∴∠ACD=∠B.

又∵AE平分∠CAB，

∴∠CAE=∠EAB.

又∵∠CEF=∠B+∠EAB，

∠CFE=∠CAE+∠ACD，

∴∠CFE=∠CEF.

∴CE=CF.

【點評】本題綜合運用角平分線的定義，內角和外角的關系和等角對等邊來說明CE=CF.學習了等角對等邊以后，今后如果我們要證明兩條線段相等，除了考慮線段的轉化、三角形全等，還有一種方法就是等角對等邊.

我們回顧了這一章的一些重要的概念后，同學們有什么收獲嗎？學習幾何需要牢牢抓住基本概念，從題中的條件出發推出我們需要的結論，同時掌握了基本概念后我們可以熟悉基本的圖形，掌握基本的添線方法.加油，孩子們，繼續讀下去，會更加精彩！

（作者單位：江蘇省常熟市周行學校）