神奇的“小叉”：尺規作出三角形

薛競舟

剛開始學習幾何，老師就教給我們各種尺規作圖的方法，以前只是模仿操作，很多作法的依據老師并不深入講解，只說“等你們學習了全等之后就會明白”，我總是對作圖中最后出現的那個神奇的“小叉”特別好奇.待到本章學完全等，再看之前有些尺規作圖，原來角平分線、垂線、復制角等操作的理由都來自全等三角形.下面我再把教材中提到的一些作三角形的方法整理一下，看看作圖過程中那個神奇的“小叉”是如何出來的！

情形1：已知三邊作三角形

己知一個三角形三條邊分別為a，b，c求作這個三角形.

作法步驟：先作線段BA=c，分別以B，A為圓心，a，b為半徑畫弧交于C，連接AC，BC，則△ABC即為所求.

作法依據：最后得出的三角形三個頂點都被唯一確定，根據SSS，只要按上述作圖保證了三邊相等，則兩個三角形一定全等.

情形2：已知兩邊及其夾角作三角形

已知一個三角形的兩條邊長分別是1 cm和2 cm，這兩條邊的夾角為40°（如圖3）.請作出一個滿足題設條件的三角形.

作法步驟：如圖4，先作∠MAN=40°，在AM、AN上分別取AB=2cm，AC=1cm，連結BC，則△ABC即為所求.

作法依據：這個作法的關鍵在于復制∠MAN=40°，那個神奇的小叉就是尺規作角的特征之一，本題作法的依據是“SAS”證明全等.

情形3：已知兩角及其夾邊作三角形

已知一個三角形的兩角分別為∠a、∠β，夾邊為a，求作這個三角形.

作法步驟：如圖6，先作線段AB=a，再分別以A、B點為頂點，射線AB、BA為一邊，在AB的同一側作∠DAB=∠a，∠EBA=∠β，AD，BE交于C點，則△ABC即為所求.

作法依據：跟“情形1”一樣，這里關鍵是復制兩次角，∠a、∠β，依據仍然是SSS復制角；然而作圖的順序跟“情形1”不同，先作出線段AB=a，可以明確三角形的兩個頂點.

情形4：已知一直角邊、斜邊作直角三角形

如圖7，已知線段c、b（c>b）.

求作：△ABC，使∠C=90°，AB=c，AC=b.

作法：第一步：作直線MN，并在直線MN上取點C；

第二步：作平角MCN的平分線CE；

第三步：在射線CE上截取CA=b；

第四步：以A為圓心，c為半徑畫弧交直線CM于B點；

第五步：連接AB.則△ABC就是所求作的三角形（如圖8）.

作法依據：上面的作法中作垂直比較費事，其實可以看成是作一個平角的角平分線.

教師點評：尺規作圖問題是平面幾何的經典，需要合理安排作圖次序.如果做一些人文的聯想，有點類似于中國古代建筑中的某些木作結構，工序的先后往往決定了成敗.在一定意義上說，尺規作圖也是這樣.小作者在上文中提到四種作三角形的情形，還只是最為基本的作三角形問題，有興趣的同學還可以深入思考一些較為復雜的作三角形問題，這里不妨提供一例，供挑戰.

挑戰作圖題：已知線段a，b，h. 求作△ABC，使BC=a，AC=b，AC邊上的高BD=h.

提示：先作出Rt△BCD，滿足斜邊BC=a，直角邊BD=h，再將CD延長到A，使CA=b，連接AB，所以△ABC為所求.（這里第一次作出的Rt△BCD，常常被稱之為“奠基三角形”.）

（指導教師：江海人）