似是而非：兩道全等習題的求解感悟

劉張睿

似是相似，而并非相同.本周，我遇到兩道相似的題目，卻當成一樣來做.

題1 如圖1，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，試判斷BE、DF與EF的數量關系，并說明理由.

因為在之前學習過程中曾碰到過類似的問題，所以我很快構造出輔助線.

證明：如圖2，延長CB至M，使BM=DF，連接AM.

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中，

AB=AD，

∠ABM=∠D，

BM=DF，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM.

∵∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，

AE=AE，

∠FAE=∠MAE，

AF=AM，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF.

問題來了，在另一份作業中，我又碰到下面這道題：

題2 如圖3，在△ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥GF，交AB于點E，連接EG.

（1） 求證：BG=CF；

（2） 請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論.

第（1）問我很快就解決了，∵BG∥AC，∴∠DBG=∠C，

在△BDG和△CDF中，

∠BDG=∠CDF，

BD=CD，

∠DBG=∠C，

∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG=CF.

第（2）問我先是猜想“BE+CF=EF”，在草稿上七轉八轉好長時間都沒有頭緒，最后只好放棄.第二天老師講評時，我才恍然大悟，原來我的思考方向出錯了！應該是BE+CF>EF！重新調整方向后，我很快獲得突破：

∵△BDG≌△CDF，∴DF=DG，CF=BG，

又∵DE⊥GF，∴EF=EG，

在△BEG中，

∵BE+BG>EG，∴BE+CF>EF.

看，原來最后回到了三角形的三邊關系的一個不等式！看似實則不是，這讓我想起一個故事《野兔的經驗》，講述了一只野兔為了防止獵戶的陷阱，只走自己原來的腳印原路返回……然而，有一天，獵戶偽造了一個個腳印，兔子誤認為一樣的，結果掉入陷阱.我也好像那只兔子，掉入了陷阱.

似與是，似≠是.需要分辨清楚，才能成功.

教師點評：對于初學全等的同學來說，小作者在這篇數學寫作中提到的兩個全等習題都屬于難題級別.比如“題1”需要構造全等，而且要證兩次全等才能實現目標，如果再深一層的話，我們還可提出一些同類結論：“求證：△CEF的周長是定值”；而“題2”同樣是探求三條線段之間的數量關系，卻不是一個等量關系，需要轉化到一個三角形中利用三邊關系來解答.此外，作者把這兩道習題關聯在一起，以“似與不是”為文題，也是恰當的，這也正是很多數學習題的特點，題目的條件與結論稍稍改變，可能就會是一個新的問題，透過現象看到本質、洞若觀火才是數學解題訓練的目標.受小作者的文末聯想啟發，老師也想到了畫家齊白石對作畫的主張：妙在似與不似之間，太似為媚俗，不似為欺世.

（指導教師：江海人）