一道中考題的變式探究

崔萍

全等三角形在各地中考試卷中是必考題型，而且有一類以等腰三角形為背景的圖形問題更是經典中的經典.下面以一道中考題為例，變式拓展，帶領同學們做一題，會一類，通一片.

考題 （2015·浙江杭州，8分）如圖1，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC.求證：DM=DN.

【思路分析】可以把目光盯在△AMD和△AND中，排列條件，發現AM=AN不能直接獲得，但是可以根據“AM=2MB，AN=2NC”推得，從而可以根據“SAS”證得△AMD≌△AND.

證明：因為AM=2MB，所以AM=AB，同理，AN=AC，又因為AB=AC，所以AM=AN.

因為AD平分∠BAC，所以∠MAD=∠NAD.

在△AMD和△AND中，

AM=AN，

∠MAD=∠NAD

AD=AD，，

所以△AMD≌△AND，所以DM=DN.

【成果擴大】在△AMD≌△AND基礎上，我們不僅可以得出DM=DN這樣的結論，稍加推證，不難發現圖1中還有很多線段相等、角相等，都是可以成為設計考題的考點.除了在原圖上的探究，我們還可以把點D動起來，也就是在AD上找一點E，設計出內容更豐富的問題，比如：

如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點E在AD上.

（1） 求證：AD是△ABC的中線；

（2） 求證：AD是△ABC的高；

（3） 求證：BE=CE；

（4） 求證：∠DBE=∠DCE；

（5） 求證：ED平分∠BEC；

（6） 求證：點E到AB、AC兩邊距離相等；

（7） 求證：點E到AB、AC兩邊中點的距離相等.

【解答提示】問題（1）～（5）都不需要添加輔助線，而第（6）題在答題時則需要作出相應的垂線段（綜合同學們的作業情況，不少同學會誤認為點E到AB、AC的距離就是EB、EC的長，這是對“點到直線的距離”概念的誤解）；第（7）題則需要先找出AB、AC兩邊的中點M、N，再連接EM、EN并證明相等.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級中學）