不同的測量方案，不同的判定方法

鄧厚波

蘇科版數學教材第30頁第13題“測量河寬”問題，除了教材上提供的這種方法以外，還有很多不同的測量方案，而且對應著不同的全等三角形的判定方法.下面詳細說說這類測量河寬的不同方案，帶大家感受全等判定方法的不同.

問題：如圖1，已知：A、B兩點被一個池塘隔開，無法直接測量其間的距離，但兩點可以到達. 請你給出一個合適可行的方案，畫出設計圖說明依據.

方案1：如圖2，先在地上任取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接AC并延長到D，使CD=AC，連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE，測得的DE的長度就是A、B間的距離.

證明：在△ABC與△DEC中，因為AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，所以△ABC≌△DEC（SAS），所以AB=DE.

方案2：如圖3，過B點作AB的垂線BF，在BF上取兩點C、E，使CB=CE，再過E點作BF的垂線EG，并交AC延長線于D點，這時測得的DE的長度就是A、B間的距離.

證明：在△ABC與△DEC中，因為∠ACB=∠DCE，BC=EC，∠B=∠DEC，所以△ABC≌△DEC（ASA），所以AB=DE.

方案3：如圖4，先在地上任取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接AC、BC，再過A點作BC的平行線AE，在AE上找一點D，使AD=BC，連接CD，測量CD的長即為A、B間的距離.

證明：由AE∥BC，可得∠1=∠2，在△ABC與△CDA中，BC=DA，∠1=∠2，AC=CA，所以△ABC≌△CDA（SAS），所以AB=CD.

方案4：如圖5，先在地上任意作一射線AE，再過B點作AE的垂線并交AE于點D，在射線AE上再找一點C，使CD=AD，連接BC，測量BC的長即為A、B間的距離.

證明：在△ADB與△CDB中，BD=BD，∠ADB=∠CDB，CD=AD，所以△ADB≌△CDB（SAS），所以BA=BC.

方案5：如圖6，在地上取一點C，用測角器測得∠ABC=90°，在AC的另一側作射線CE，使∠ACE=2∠ACB，且交AB的延長線于點D，測量BD的長即為A、B間的距離.

證明：在△ABC與△DBC中，∠ABC=∠DBC，BC=BC，∠ACB=∠DCB，所以△ABC≌△DBC（AAS），所以AB=DB.

總結：由上述探討過程可知，應用全等三角形解決實際問題的關鍵就是怎樣去構造全等三角形，然后依據全等三角形的對應邊相等，將不能直接測量的距離轉化成可以直接測量的距離.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）