續挖例題現“甘泉”，雙向變式求拓展

徐向清

蘇科版數學教材第20頁例題：如圖1，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分別是對應邊上的高.求證：AD=A′D′.

此處不再詳細講解教材上的解法了，值得思考的卻是如何將問題向其他角度拓展.

變式1 如圖2，△ABC≌△A′B′C′，AE，A′E′分別是對應邊上的中線.

求證：AE=A′E′.

【思路簡述】利用“SAS”證明△ABE≌△A′B′E′可獲證.

變式2 如圖2，如果AE，A′E′是△ABC和△A′B′C′的對應角平分線，求證：AE=A′E′.

【思路簡述】利用“ASA”證明△ABE≌△A′B′E′可獲證.

到此，是不是可以歸納出一個重要性質：

如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形中的對應線段一定相等.

如果還不滿足上面的歸納，還可以進行如下探索驗證，比如，如圖3，分別在BC，B′C′邊上取一點M，M′，使BM=B′M′，再連接AM，A′M′，求證：AM=A′M′.

【思路簡述】利用“SAS”證明△ABM≌△A′B′M′可獲證.

似乎已得到很多相關的結論，深入追問、成果擴大是數學人的興趣，讓我們再把問題逆向思考，讓成果擴大吧！

逆向思考1 如圖1，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD，A′D′分別是BC，B′C′邊上的高線，且AD=A′D′.求證：△ABC≌△A′B′C′.

【思路簡述】利用“HL”先證明△ABD≌△A′B′D′可得∠B=∠B′，同理可證得∠C=∠C′，從而利用“AAS”證明△ABC≌△A′B′C′.當然證明路徑不唯一，同學們還可思考其他的證明方法.

逆向思考2 如圖2，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AE、A′E′分別是BC，B′C′邊上的中線，且AE=A′E′.求證：△ABC≌△A′B′C′.

我想，最后這個“逆向思考2”是很有挑戰意義的，就留給有興趣的同學自己完成吧！

（作者單位：江蘇省南通市易家橋中學）