“SAS”證明三角形全等的不同情形

周紅娟

我們知道，蘇科版八年級數學教材第14頁把“SAS”作為第一個基本事實推出之后，連續安排3個例題鞏固訓練這種判定方法，這足以說明該判定方法的重要性，也說明“SAS”在不同的圖形、不同條件下會有不同的探究方法，同學們研習教材時也應有這樣發現的眼光.下面我們仍然圍繞“SAS”列舉三種不同于教材的圖形，幫助同學們鞏固這種判定方法.

情形一 簡單組合“SAS”條件進行判定

例1 已知：如圖1，E是BC的中點，∠1=∠2，AE=DE.

求證：AB=DC.

【分析】就本題圖形與已知條件來看，要證得AB=DC，只要證得兩個三角形全等即可. 從所給的條件來看，已知中直接給定了一組角與一組邊對應相等，好像少一組邊對應相等，實際上∠1=∠2的另一組夾邊以“E是BC的中點”的形式給出了，這三個條件基本上是以比較直接的形式給出的，具體證明只要簡單組合一下這三個條件就可以了.

證明：∵E是BC的中點，

∴BE=CE.

在△ABE和△DCE中，

∵BE=CE，∠1=∠2，AE=DE，

∴△ABE≌△DCE.

∴AB=DC.

【反思】這種只要直接組合已知條件證明三角形全等的題主要考查基礎知識，給出證明時注意幾何語句的書寫規范.

情形二 探尋“夾角”相等實現“SAS”判定

例2 已知：如圖2，OP是∠AOC和∠BOD的平分線，OA=OC，OB=OD.

求證：AB=CD.

【分析】由題意，我們只要證得△AOB≌△COD即可得到結論.這兩個三角形全等的條件已直接給出了兩組邊對應相等，是不是能找到它們的夾角呢？顯然，題目已知條件給了“OP是∠AOC和∠BOD的平分線”，能給我們以幫助，可以得到∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，進而由角的差可以得到兩個三角形的∠AOB=∠COD，從而獲得三角形全等的必要條件.

證明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分線，

∴ ∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP.

∴∠AOB=∠COD.

在△AOB和△COD中，

OA=OC，

∠AOB=∠COD，

OB=OD，

∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.

【反思】本題也是比較典型的考查全等三角形的基礎問題，只要經過簡單的探究就能得到一個間接給出的有效條件從而實現問題的解決，解題時注意題目中一些間接信息的轉譯，一些間接信息是發現有效條件的來源.

情形三 探尋一組“有效的邊”相等應用“SAS”判定

例3 如圖，點C，E，B，F在同一直線上，∠C=∠F，AC=DF，EC=BF.求證：△ABC≌△DEF.

【分析】由題意，題中直接給出一組對應角、一組對應邊相等，還差一組對應邊（BC=EF）就可以應用“SAS”判定兩個三角形全等了.觀察所給的條件EC=BF，我們可以利用線段的和得到有效的一組對應邊BC=EF，于是問題獲得解決.

證明：∵EC=BF，

∴EC+BE=BF+BE，即BC=EF.

在△ABC與△DEF中，

AC=DF，

∠C=∠F，

BC=EF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

【反思】本題尋找另一組“有效的對應邊”也是通過題目中間接信息得出的，這種給出一組非對應邊的線段相等，從而根據線段的和及等式性質得到對應邊相等的解題思路（或意識）是非常重要的，同學們要注意積累.

最后鏈接一道新考題，幫助同學們鞏固本文所講內容.

小試牛刀

（2015·重慶卷）如圖4，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側，點C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF. 求證：BC=FD.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級中學）