淺談數形結合的兩種途徑

蔡麗娟

摘 要：“數”和“形”是數學中兩個最基本的對象，它們既是對立的，又是統一的。

關鍵詞：數學；數形結合

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）23-296-01

“數”和“形”是數學中兩個最基本的對象，它們既是對立的，又是統一的。每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系又常常可以通過幾何圖形作出直觀的反映和描述。數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來。可以說，數形結合是一柄雙刃的解題利劍，那么如何進行有效的數形轉換呢？

一、由數到形的轉換途徑

1、借助函數圖像實現數形結合

方程與不等式問題常可轉化為兩個函數圖像的交點或位置關系的問題，并借助函數的圖像和性質解決相關問題。

例1（2013年天津高考試題）已知函數 ，設關于x的不等式 的解集為A，若 ，則實數a的取值范圍是

（A） （B）

（C） （D）

解：顯然 為奇函數，且 ，

當 時，根據圖形知 的解集為空集，不符合題意。當 時，如圖所示，

則當 時，由 得

。故選A。

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性，單調性，對稱性，以及由函數圖像解答不等式問題，運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題。

2、借助數與式的結構實現數形結合

許多等式或代數式都具有明顯的幾何意義，例如可利用平面向量的數量積及模的性質來尋求數式的幾何性質等。

3、借助曲線與方程的對應關系實現數形結合

即利用解析幾何中的曲線與方程的關系、重要的公式（如兩點間的距離、點到直線的距離、直線的斜率、直線的截距）、定義（如平面區域）等來謀求數式的圖形背景及有關性質。

4、構造幾何模型

通過對數式的結構或問題的特征分析，構造出符合數式或問題情景的幾何圖形。如將 與勾股定理溝通，將 與余弦定理溝通等。

例2有A、B、C、D四個島嶼，現要建造3座橋將這四個島嶼連接起來，共有多少種不同的方案？

解：構建四面體ABCD，共有6條棱，根據題意，任意取3條有 種方法，其中共面的三條棱應舍去。故共有 種不同方案。

點評：本題根據問題情景構建四面體巧妙求解。

二、由形到數的轉化途徑

1、解析法

即建立適當的直角坐標系，引進坐標，將幾何圖形變換為坐標間的數量關系。

例3已知正方體 的棱長為1，點P是平面ABCD內動點，若點P到直線 的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ）

A、拋物線 B、雙曲線 C、直線 D、直線

解：如圖所示，以A為原點，AB為 軸，AD為 軸，建立平面直角坐標系，并設點P的坐標為 ，作PE ，垂足為E，FP ，垂足為F，連結EF，則AD 平面PEF，于是，AD EF，從而|EF|=1，且PE EF。故有

，作PN CD，垂足為N，則|PN|=| -1|，依題意有

|PF|=|PN|，所以 ，化簡得 ，故動點P的軌跡所在的曲線是雙曲線，選B。

點評：本題不僅考查了立體幾何中的點、線、面間的位置關系，而且考查了平面解析幾何中求軌跡的一般方法——解析法。

2、三角法

即將幾何問題與三角溝通，運用三角知識獲得探求結論的途徑。

3、向量法

即將幾何圖形向量化，運用向量運算解決幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題，化抽象的幾何推理為精確的代數運算。特別是運用空間向量、平面的法向量等工具解決立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題時，更是使問題的解決變得有章可循，有路可走。這方面的例子在近幾年中的各地高考試卷中比較常見，這里不再枚舉了。

參考文獻：

[1] 梁東劍.概念教學要突出抽象的過程[J]，中學數學教學參考：上旬，2012（5）：2-6.

[2] 章建躍，數學思想方法的力量[J]，中小學數學：下旬，2013（10）：封底.