小波變換和模糊凸集投影相結合的圖像復原方法研究

李欣

（華南理工大學廣州學院 電子信息工程學院，廣東 廣州 510800）

圖像復原，尤其是圖像去模糊技術，一直是圖像處理中的研究熱點。近年來，國內外已有不少學者對此進行研究，提出了一些成熟的圖像復原算法，比如傳統的POCS（凸集投影）[1-3]算法、Lucy-Richardson（L-R）[4-5]算法、文獻[6]的算法，但還不能有效的解決圖像復原的病態性問題。一方面，圖像復原的很多方法都是基于已知的點擴散函數（PSF）實現圖像復原，如傳統的POCS算法。事實上，PSF往往是未知的，需要在頻域或者空域進行估計，但是估計出來的PSF也很難保證其準確性。另一方面，在對含噪的模糊退化圖像進行圖像復原時，噪聲的存在，會影響圖像復原的效果，尤其是在圖像信噪比低的情況，比如 Lucy-Richardson（L-R）算法、文獻[6]的算法。因此，在進行圖像復原時，必須有效的濾除噪聲。

本文結合圖像復原中去噪與去模糊的需要，提出了一種小波變換[7-8]與模糊凸集投影相結合的圖像復原方法。去噪方面引入小波變換，因其具有多分辨分析和小波包分析的特點，在時空兩域都具有表征信號局部特征的能力，很適合于含噪信號的探測分析及其成分展示；去模糊方面引入模糊凸集投影，將同一場景的不同觀測圖像進行小波分解，模糊凸集投影用來標識圖像小波系數的可靠性，這樣既能消除噪聲的影響，又可以保證結果圖像融合盡可能多且可靠的信息。

1 模糊凸集投影定義

本文的模糊凸集投影算法，與傳統的POCS算法相似，都是通過融合多幅觀測（退化）圖像的信息來實現降低圖像噪聲和提高圖像清晰度，只是運行在小波域。按照線性系統理論，多觀測圖像系統的退化模型可以表述如下：

其中f表示原始圖像，gi、hi和 ni分別表示第 i個觀測（退化）圖像、第i個觀測圖像的點擴散函數（PSF）、與第i個圖像的加性噪聲（通常為高斯噪聲）。

雖然觀測圖像中噪聲和模糊的存在，觀測圖像的小波系數也存在退化和失真，但由于不同觀測圖像包含的信息不同，從而有可能恢復或減少失真。

為了衡量小波系數的失真程度，本文引入了模糊凸集投影，其定義如下：

其中Af表示定義在E上的模糊集合，Aαf即為 Af的α截斷（0≤α≤1），而 μA（x）為 E 上的隸屬度函數，值域為[0，1]，表示x對E的隸屬程度。對普通集合A，μA（x）定義為：

為使Aαf滿足凸集的定義，僅需：

其中0≤λ≤1

2 本文算法

2.1 算法原理

現在將模糊凸集理論應用于圖像復原。考慮到圖像小波系數的絕對值越大，其受到噪聲和模糊效應的影響就越小，及其可信度越大，屬于原始圖像的小波系數的可能性越大。因此，設每幅觀測圖像 gi（i=1，2，…，N）進行了 L級小波分解，其第 l級的小波系數細節系數為 Gli（u，v），則其隸屬度可以定義為：

其中 γl（l=1，2，…，L）為正數，考慮到越高級的小波細節系數受到低通濾波作用越大，受到的噪聲影響越小，因而在相同幅度的情況下，其隸屬度應比低級的小波細節系數的隸屬度高，即γ1≤γ2≤…≤γL。同時，小波變換的近似系數應該是可靠的，因此其隸屬度應該為1。為方便一致，將圖像gi（i=1，2，…，N）進行L級小波分解的近似系數子圖像與各級細節系數子圖像組合成的圖像記為 Gi（i=1，2，…，N），則隸屬度函數統一可以表示為：

從隸屬度函數的定義（6）看出，其對應的集合 Aαf是一個凸集，定義小波系數到該凸集的投影為：

將小波系數投影到凸集Aαf的意義在于將可信度過低的小波系數丟棄（置為0），保證算法結果的信息（小波系數）的可信度。

另外從隸屬度定義表達的小波系數越大，其受到退化因素影響越小，可信程度越高的概念出發，為保證最終融合的圖像具有盡可能多的可靠信息，在小波域為每個觀測圖像的（L級小波分解系數圖像）Gi定義一個凸集，以及原始圖像的（L級小波分解系數圖像）F到其凸集的投影：

投影為：

由于定義了統一的隸屬度函數與凸集投影，為了方便，下面的表述中不再區分近似系數與各級細節系數。

2.2 算法步驟

通過上面的定義和分析，本文提出的模糊凸集投影算法的過程可以表述如下：

步驟 1：初始化 αmax，αmin與 αstep，以及 γl（l=1，2，…，L），將各觀測圖像 gi（i=1，2，…，N）進行 L 級小波分解，得到小波系數圖像 Gi（i=1，2，…，N）；

步驟 2：令 α=αmax，i=1，F^=Gl，F^表示原始圖像的 L 級小波分解系數圖像的近似圖像；

步驟 3：對每個小波系數F^（u，v），投影到 Gi對應的凸集

步驟4：若i=N，轉到步驟5，否則i=i+1，返回步驟3；

步驟 5：對每個小波系數F^（u，v），投影到凸集 Aαf：F^（u，v）=Pα（u，v））；

步驟 6：α=α-αstep，若 α<αmin，轉到步驟 7，否則 i=1，轉到步驟3；

步驟7：將F^進行小波反變換，得到最終的融合圖像f^，f^就是原始圖像f的估計值。

上述步驟中，步驟3保證了最終圖像f^盡可能的融合最多與最重要的信息，步驟5保證了所融合信息的可靠性，而且通過步驟6的循環，逐漸的縮小α，使得凸集Aαf逐漸膨脹，從而使得每個小波系數根據其可靠性的順序逐步被包含在f^中。

3 對比實驗

實驗在Matlab平臺上進行。本實驗使用“sym4”小波的5級小波分解進行實驗， 選擇 αmax=0.99，αmin=0.05，αstep=0.01，γ1=5.0e-3，γ2=γ3=4.5e-3，γ4=γ5=4.0e-3， 并產生了 5 幅退化圖像。退化圖像的產生是根據圖像退化模型（見式1）產生的，每一個退化圖像的PSF由運動模糊與高斯模糊的卷積產生，加性噪聲選擇σ2n=5高斯白噪聲。

實驗中，本文算法與Lucy-Richardson（L-R）算法、文獻[6]的算法進行了對比。如圖1是對大小為的Lena圖像進行實驗的結果。其中圖1（a）是原圖像加模糊和噪聲后的其中一幅退化圖像。

為了客觀評價各算法復原結果，引入峰值信噪比PSNR，算法運行時間，以及圖像復原相關測度K為

它們的對比結果如表1所示。

從表1可以看出，本文提出的算法取得比L-R算法和文獻[6]更好的復原效果，因為L-R算法僅采用一幅退化圖像的信息進行復原，而文獻[6]與本文算法均使用了對5幅退化圖像進行信息融合的方法，因而獲取的原始圖像信息更多，復原效果更好；另外，文獻[6]采用的頻率域復原方法，根據系數的可靠程度，舍去不可靠系數（置為0），因此其去噪性能與模糊性能沖突很大，而本文采用的算法在小波域進行圖像復原，利用了小波變換的特點，使得能夠在不同細節層次上對圖像進行不同程度的處理，減少了去噪對圖像去模糊的影響。從相關測度K值上也可以看出，本文算法更接近1，也就是3種算法中，本文算法圖像復原誤差最小，感官視覺上更接近原圖像。綜合考慮以上3個指標，本文算法圖像復原效果最好。

圖1 Lena復原效果對比圖Fig.1 Lena restoration effect comparison chart

表1 各算法復原Lena圖像的PSNR比較結果Tab.1 The algorithm of restoration image （Lena） PSNR results

為了考察觀測圖像（退化圖像）數目對融合結果圖像的影響，下面對Lena圖像數目在3、5、8和10的情況下進行實驗，具體如表2所示。

表2 觀測圖像數目對融合結果圖像的影響Tab.2 Effect of observations on number of image fusion results

從表2看出，在一定圖像數目范圍內，獲得的觀測圖像（退化圖像）數目越多，復原圖像的質量越高，越接近原始圖像。然而，當觀測圖像數目增加到5幅以上，圖像復原的質量并沒有隨著圖像數目的增加而增加。這是因為，觀測圖像數目到了一定程度，新增加的觀測圖像不能帶來更多的新信息，導致復原圖像的PSNR增長緩慢或基本保持不變。

4 結 論

文中提出了小波變換與模糊凸集投影相結合的圖像復原算法。該算法在處理圖像模糊時，不需要使用PSF，而是通過小波域分解的圖像信息融合，提高圖像的清晰度。在圖像融合過程中引入的模糊凸集投影衡量小波系數，保證了圖像融合過程的可靠性，也有效的抑制了噪聲。最后，選擇在小波域進行融合，能利用小波變換的特性，減少了噪聲對圖像融合效果的影響，節省了算法運行時間，提高了圖像復原的效果。

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