數(shù)控編程中橢圓參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用分析

秦運(yùn)棟

（宿遷學(xué)院 機(jī)電工程系，江蘇 宿遷 223800）

0 引言

隨著數(shù)控技術(shù)的發(fā)展與普及，越來越多的數(shù)控加工采用編程軟件進(jìn)行自動(dòng)編程。但是對(duì)于一些有一定規(guī)則的圖形，若采用手工編程，只要選擇合理的編程思路，就能對(duì)程序進(jìn)行方便的修改，可以避免因編程軟件在產(chǎn)品后期的調(diào)試、調(diào)整所帶來頻繁出程序的麻煩。如橢圓形的機(jī)加工在普通機(jī)床上無法實(shí)現(xiàn)，通過數(shù)控機(jī)床宏程序功能可以較好的逼近理想的橢圓形狀，但是如果編程不當(dāng)將會(huì)引起理論編程形狀與實(shí)際加工形狀產(chǎn)生誤差的現(xiàn)象，本文主要討論橢圓參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程兩種編程方法的不同之處和注意要點(diǎn)。

1 橢圓方程

橢圓可以用兩種不同的數(shù)學(xué)關(guān)系式來表示：

（1）參數(shù)方程：

X=a.Cosα

Y=b.Sinα

式中：a、b 分別表示對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中X、Y 軸向的半軸尺寸；α 表示360°圓周上任意一點(diǎn)時(shí)的角度（0°～360°）；X、Y表示在圓周上任意一角度α 時(shí)，對(duì)應(yīng)在橢圓上某一特征點(diǎn)時(shí)的x，y 坐標(biāo)值。

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程：

圖1 橢圓Fig.1 Ellipse

式中：a、b 分別表示對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中X、Y 軸向的半軸尺寸。X、Y 表示在已知a、b 半軸橢圓上，對(duì)應(yīng)X、Y 的坐標(biāo)值。

2 橢圓軌跡分析

（1）參數(shù)方程橢圓軌跡分析。橢圓參數(shù)方程在運(yùn)行過程中，是通過不斷的改變角度α 計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)x,y。如圖2 所示，通過圓心Ο 分別以長、短半軸a、b 為半徑作圓，同時(shí)經(jīng)圓心取一角度α 作斜線ΟL。此時(shí)可以看到線段ΟL 與圓Ra、Rb 分別相交于a、b 兩點(diǎn)，再通過a、b 兩點(diǎn)分別作垂線得ax、bx 兩點(diǎn)，過b 點(diǎn)作垂線得ay 并于橢圓輪廓重合于X1Y1 點(diǎn)。

圖2 參數(shù)方程示意圖Fig.2 Parameter equation sketch map

通過圖2 觀察可以看出參數(shù)方程中X=a.Cosα=Ο.ax即X1；Y=b.Sinα=b.bx=ay.ax 即Y1，得到相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)X1Y1。由此可知在0°～360°取一任意角度時(shí)，都會(huì)在橢圓上產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)x，y。當(dāng)取n 個(gè)角度時(shí)便會(huì)產(chǎn)生n 個(gè)x，y 點(diǎn)，如并把每相鄰的點(diǎn)相互連接時(shí)便會(huì)產(chǎn)生逼近橢圓的形狀，若如角度取值越小曲率越平滑。

如圖3 所示，將Ο、X1Y1 點(diǎn)連接，會(huì)發(fā)現(xiàn)在第一象限中角度α1 大于α2，在加工中會(huì)產(chǎn)生刀具實(shí)際加工角度α2 跟隨不到理論角度α1，從而在第一象限中產(chǎn)生少切的現(xiàn)象，同時(shí)少切現(xiàn)象也受長、短半軸的差值及在第一象限中所處角度的影響，見圖4。

圖3 少切Fig.3 Less cutting

圖4 少切示意圖Fig.4 Less cutting sketch Map

參數(shù)方程在加工中，在第一象限會(huì)產(chǎn)生少切現(xiàn)象，在第二、三、四象限也存在類似問題，總的歸納為一、三象限少切，二四象限過切，各象限情況參見圖5。

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程分析。標(biāo)準(zhǔn)方程在計(jì)算過程中，長短半軸尺寸已確定，當(dāng)把已知值x 或y 帶入公式求另一未知數(shù)時(shí)，得到的值始終為相對(duì)應(yīng)數(shù)值，不存在少切或過切現(xiàn)象，如圖6 所示。

圖5 第1-4 象限少切或過切示意圖Fig.5 Quadrant 1-4 Less cutting or over cutting sketch Map

3 參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用選擇

圖6 標(biāo)準(zhǔn)方程示意圖Fig.6 Standard equation sketch Map

橢圓宏程序采用參數(shù)方程編寫較為簡單，便于記憶，但是不適合加工任意角度的橢圓，只適用于加工整圓或是90°整倍數(shù)的4 個(gè)象限特征點(diǎn)上，即90°、180°、270°、360°時(shí)可以選擇參數(shù)方程編程，方可避免少切或過切的現(xiàn)象產(chǎn)生，多應(yīng)用于銑床。

橢圓宏程序采用標(biāo)準(zhǔn)方程編寫較為煩鎖，需要將標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行推導(dǎo)，變換成所需的求未知數(shù)公式,如y=b/a*SQRT（a2-x2），但是標(biāo)準(zhǔn)方程每次只能加工半個(gè)橢圓，如需加工整橢圓，需要兩個(gè)宏程序配合使用，適用于車床。

橢圓編程時(shí)，選擇參數(shù)方程編程或者標(biāo)準(zhǔn)方程編程，需要根據(jù)實(shí)際加工情況進(jìn)行分析，合理的選擇，能有效縮短試制階段的調(diào)試時(shí)間。如選擇不當(dāng)，很容易產(chǎn)生次品或廢品，需要謹(jǐn)慎選擇。

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