數學課堂教學注重發展學生應用知識的案例研究

劉春妮+舒萍+莫慧瓊+黃芳+楊如群

義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發展性。為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課堂教學應著眼于為學生未來生活、工作和學習奠定必備的基礎，重視培養和發展學生的數學應用意識，提高學生的數學應用能力。新課標指出，應用意識有兩方面的含義：一方面有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題;另一方面，認識到現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。初中數學課程改革十多年來，許多教師對應用意識教學仍缺乏足夠認識，或者只是追求課堂上探究活動所呈現的熱鬧場面而忽視了數學的本質，人為地把生活與數學割裂開來。我校數學組在劉春妮特級教師工作室的引領下，基于廣西A類課題《以教師專業化發展促進中學課堂有效教學實施的研究》，針對數學課堂教學如何注重發展學生的應用意識，采取課型研究形式，根據不同學段和課型進行了案例對比研究。

一、利用數學的概念、原理和方法，解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題，培養學生的數學應用意識

數學是形式化思維的最高境界，讓抽象的數學概念、公式注入生命活力，動作思維和形象思維往往是一塊很好的敲門磚。在課堂上可讓學生動口、動手、動腦，使其體驗到數學來源于生活也服務于生活，親身感受到學習數學概念的意義，從而有效激發學生的學習積極性，充分調動他們的探究熱情。

（一）創設問題情境，讓學生體會數學概念、原理和方法與實際結合的意義

當前課堂教學仍然存在輕視概念教學的現象，導致學生對數學的概念、原理和方法不求甚解，只會模仿做題，陷入題海之中，成為知識的“存儲器”。我校數學組成員在教學中力求讓學生聯系實際，回歸數學的本源，感悟數學精神，領會貫通數學概念、原理和方法。

案例一：人教版（注：本文所舉案例均為人教版教材內容）八年級（上）第十二章“全等三角形”第一節

教法1：要求學生觀察圖1，然后提問——

圖1

師：請指出每個圖案中圖形之間有何關系。

生：形狀、大小都相同。

師：利用動畫，將上面每組圖形中的兩個形狀、大小都相同的圖形重疊在一起，又能發現什么結論？

生：兩個圖形一模一樣，能完全重合。

師：大家看得很仔細！我們把能完全重合的兩個圖形稱為全等形。在全等形中，最常見、最簡單的就是全等三角形。

教法2：要求學生觀察圖1，在教法1的基礎上延伸——

師：你能舉出生活中一些全等形的實例嗎？

生：利用電腦對圖形進行復制得到的圖形都是全等形，同一張底片洗出的一寸照片也是全等形，兩塊相同的三角板、兩本相同的數學書……

師：對極了！這也恰恰說明全等形在我們生活中有很大用處，我們有必要去研究它。

教法1雖然充分挖掘了教材資源，但對于大量的課堂生成資源視而不見，學生的活動有被強制引導的痕跡，而不是因為學生的學習需要才展開，學生并沒有弄明白為什么要學習全等形、學習全等形有什么作用。教法2的設計添加了“讓學生舉出生活中全等形的實例”這個環節，以開放式的問題為教師提供了更多的課堂生成資源，也讓學生經歷了從現實世界抽象出幾何模型的過程，真正把學生放到了學習主體的位置。

案例二：七年級（上）2.2“整式加減”第一節“概括同類項的定義”

教法1：給出幾組單項式（1）2a2b、7a2b、ba2，（2）6xy、-3xy，（3）8n、5n，向學生提問——

師：上節課我們學習了單項式，請同學們觀察以上三組單項式，它們有什么共同特點？

生：每組單項式都含有相同的字母，并且相同字母的指數相同。

師：很好，我們將滿足這樣條件的單項式叫做同類項。

教法2：（1）給出一幅圖片，如一些水果任意擺放。

師：怎樣擺放這些水果才能便于人們選購？

生：給這些水果分類，將同一種水果放在一起。

（2）有若干張面值不同的錢幣混在一起，如何快速而準確地知道一共有多少錢？

生：將五元、一元、五角、一角的錢先分類整理，然后再分別點數。

師：很好，分類在生活中隨處可見，給我們的生活帶來了很多便利。在數學世界里，是否也存在著某種分類，能讓一些復雜的運算變得簡便呢？下面我們來考慮一道與分類有關的數學問題。

（3）有8只小白兔，每只小白兔身上都標有一個單項式（如圖2），你能根據這些單項式的特征將這些小白兔分到不同的房間嗎？（不限制房間數）

圖2

生1：我將它們分到兩個房間：6xy、3ab2、2a2b;-3xy、-7a2b、-ab2。

師：你是按什么標準分的？

生1：按照系數的正負分類。

生2：根據單項式的次數，我將它們分到三個房間：8n、5n;6xy、-3xy;3ab2、2a2b、-7a2b、-ab2。

師：很好，還有其他的分類方法嗎？

生3：我要將它們分到四個房間：8n、5n;6xy、-3xy;3ab2、-ab2;2a2b、-7a2b.

師：這位同學分得很細，大家觀察一下他是按什么標準來分的？

生4：它們都含有相同的字母。

生5：并且相同字母的指數相同。

師：很好，我們將滿足這樣條件的單項式叫做同類項。

教法1是概括同類項定義的常見教學方法，即直接給出幾組同類項，讓學生觀察這些式子的特征，在學生找出特征之后，提出同類項的概念。這樣的處理方法缺乏關注數學概念形成的意義，學生的學習是孤立的知識接受和存儲。教法2則關注從生活中的分類到數學中的分類，讓學生在給單項式分類的過程中發揮主體作用，從個人視角去觀察、分類、歸納、研究學習，通過探究去發現一些新的現象和規律，然后用數學概念去解釋，總結得出同類項的概念。endprint

（二）利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題

在教學中，我們力求讓學生體驗用數學概念和原理、方法去解釋五彩斑斕的生活現象，解決生活中的問題，一方面激發學生學習的內動力，使學生獲得愉悅的學習體驗;另一方面讓學生體會數學與生活的密切聯系，更好地揭示數學的本質，強化數學學習的重要性。

案例三：“軸對稱圖形”第一課時

師：今天老師帶來了一些漂亮的圖案（如圖3）。觀察生活中這些美麗的圖案，你有何感想？（學生進行交流，談自己的感想）

圖3

師：同學們知道剪紙藝術嗎？剪紙是我國的民間藝術瑰寶，請同學們拿出準備好的剪刀、彩紙，即興創造一幅剪紙作品，看誰的剪紙最有創意。最好再為你的作品配上一句話，說說這些圖案有什么特點，并用一個數學名稱來定義具有這些特征的圖形。

生：軸對稱圖形。

案例四：“等式的性質”

師：請依據“生活中的蹺蹺板、天平”打一數學名詞。

生：等式。

師：等式就像平衡的天平，你能否通過加減天平兩邊的重量，使天平繼續保持平衡？請思考如下問題：

（1）在天平兩邊放入相同重量的物體，天平是否保持平衡？

（2）在天平左邊放入一個砝碼，右邊如何操作才能保持天平平衡？

（3）在平衡的天平一邊拿出一個物體，發生了什么變化？應怎樣才能使天平保持平衡？

師：通過以上操作，你能得到什么結論？你能用數學語言將其規律描述出來嗎？

教師接著給學生提供實驗器材，請學生到講臺上動手實驗，學生通過實驗相互交流的過程不斷補充，將等式性質一表述完整并用式子表示出來。

以上兩個案例均注重學生自主探究，體現了新課程標準的理念。教師并不是簡單地把數學概念和定理傳授給學生，而是讓學生自己動手實驗、觀察、討論、探究，各述所見、所得，找出規律，自己歸納出軸對稱圖形的概念和等式的性質。學生在生活實驗活動中學習，自主探索，抽象出數學原理，從而獲得成功體驗。在這個過程中，學生不再是被動的知識“儲存器”，而是知識的“發現者”，知識發現的過程，是由學生依據自身已有的知識和經驗主動建構的，他們真正成為學習的主人，體現了以學生為認知主體的教學思想。

二、將現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題抽象成數學問題，用數學的方法予以解決，培養學生的數學建模能力，發展學生的數學應用意識

數學的本質是數學建模。數學是從現實世界中抽象出來的，它源于生活又應用于生活，數學教學應是邏輯的嚴謹、形式的抽象、豐富的思考以及生動的呈現相互交融的過程。

（一）經歷將一些實際問題抽象為數與代數問題的過程，從生活的數量關系抽象成數學模型

案例五：九年級（上）“實際問題與二次函數——利潤最大化問題”

題目：某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件。據市場調查反映，如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件;每降價1元，每星期可多賣出20件。已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

此題牽涉的已知量和變量較多，綜合性強，如何將實際問題轉化為二次函數模型來解決問題是本節課的重點和難點。在研討中，教師們一致認為學生已有了利用一元二次方程解決有關利潤問題的經驗，而一元二次方程與二次函數是特殊與一般的關系，教學過程可以由一元二次方程模型轉化為二次函數模型，進一步加強學生對方程與函數的特殊與一般關系的認識，讓學生的思維在原認知的基礎上螺旋式上升。在教學中為了突出重點、突破難點，我們采取了合作探究、分類討論、類比學習的交流活動。

活動1：鋪墊練習。假設要獲得6 090元的利潤，該商品應定價為多少元？此練習是在原題的基礎上，只考慮漲價部分，并給定利潤，是學生熟悉的一元二次方程問題。教師啟發學生通過三個探究問題完成：（1）審題，找出題目中涉及的量及等量關系：總利潤=（售價—進價）×銷售量。（2）填寫表格，探究售價、銷售量與漲價之間的關系，通過表1、表2幫助學生找到漲價后的售價、銷量與利潤的關系。（3）列方程解方程，由學生完成解題過程。

表1

表2

活動2：實現由方程模型到函數模型的轉化。通過活動1和前一節課學習利用二次函數解決最大面積問題的經驗，學生讀完原題后會有一種熟悉感，認為并不難，但真正要動手解題時出現了困惑：漲價和降價的規律不一樣，到底是選擇漲價還是選擇降價來解決問題呢？為了適應學生的認知發展水平，分散本題的難點，教師啟發學生對題目進行討論分析，明確要解此題，關鍵要解決如下問題：（1）漲價時的最大利潤是多少？（2）降價時的最大利潤是多少？（3）選擇哪種方案利潤最大？然后讓學生采用分組合作的方式逐一探究解決這三個問題。學生由此學會了利用類比學習、分類討論對實際問題中出現的大量數據信息進行整合重組，建構利潤問題的二次函數模型。

活動3：變式訓練，拓展學生的思維，提高學生的靈活應用能力。

變式（1）：改變自變量的取值范圍。在原題基礎上增加一個條件：“商場規定試銷期間獲利不得低于40%又不得高于60%”，與原題不同之處是：自變量的取值范圍不僅受銷售量限制，還受到利潤范圍的限制，取得最大值不是二次函數的頂點處，因此不能用頂點坐標公式求解。因為學生容易產生思維定式，認為求最大值都是在二次函數的頂點處取得，設計此題可以讓學生注意考慮在實際應用問題中自變量的取值范圍。

變式（2）：改變漲（降）價的幅度。某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件。據市場調查反映，如調整價格，每漲價0.5元，每星期要少賣出5件;每降價0.5元，每星期可多賣出10件。已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使該商品利潤最大？此題與原題不同之處是：把漲（降）價幅度由每漲（降）1元變成每漲（降）0.5元，設計此題意在讓學生明白，解決這類問題需要把問題轉化為先求出漲（降）1元時的銷售量。endprint

以上兩個題目設計層層遞進，符合靠近學生“最近發展區”的要求，讓學生經歷由特殊到一般、由簡單到復雜的認知過程，經歷自主探究與合作交流的學習過程，提高了學生綜合運用知識的能力和遷移能力，激發了學生的學習興趣，符合學生的認知發展規律。在解題過程中以建模為主線，滲透轉化思想、類比思想、數形結合及方程思想，同時引導學生從不同的角度思考并尋找建模的途徑，提高其思維靈活性，體現了數學教學的育人價值。

（二）從圖形相關問題抽象成數學模型

案例六：課題學習——“最短路徑問題”。第一課時。

本節課以數學史的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題探究，讓學生經歷將實際問題的圖形抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）的數學模型。

如上圖所示，（1）復習舊知：當點A，B在直線m的異側（圖6）時，如何在m上找到點Q，使AQ與QB的和最小？請說明理由。（2）由舊知導出新知：當點A，B在直線m的同側（圖4）時，如何在m上找到點Q，使AQ與QB的和最小？能否想個辦法將其轉化為‘直線m異側的兩點（圖5），與m上的點的線段和最小，為什么需要這樣轉化？怎樣通過軸對稱實現轉化？這實際上就是探究最短路徑的過程，在這過程中，學生體會到軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想，并通過小組學習發現解決最短路徑問題的一般方法，總結解決最短路徑問題的關鍵是通過軸對稱變換將“折”路徑轉化在一條直線上，依據“兩點之間，線段最短”這一數學模型，達到基本知識的認知建構。

我們的教師還通過設計同類變式、拓展突破問題加強學生對解決最短路徑問題的應用，進一步讓學生學會利用數學模型解決同一類題。

（1）同類變式：如圖7所示，若將軍從A地出發，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到A處，請畫出最短路徑。

問題1：如何將這個問題轉為數學問題？（全班完成）

問題2：如何確定最短路徑？（小組合作）

問題3：解決這類最短路徑問題的一般步驟是什么？

圖7

（2）拓展突破：如圖8所示，若將軍從A地出發，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑。

圖8

設計以上兩個問題，意在讓學生在歸納、總結相關結論的基礎上進行再應用，體會軸對稱在解決最短路徑問題中的“橋梁“作用。最后總結歸納利用軸對稱變換把“折”路徑擺成“直”路徑解決最短路徑問題的基本步驟：①抽象出實際問題中的點和線;②確定已知點關于線的對稱點;③利用軸對稱的知識將“折”線段轉化為“直”線段;④根據“兩點之間，線段最短”確定最短路徑。即“對稱加平移，最短問題不被迷;化歸同一線，最短長度圖自現”。

綜合實踐活動是培養應用意識很好的載體，教師應充分利用綜合實踐活動課調動學生的探究積極性，培養學生的數學應用意識，提高學生的數學應用能力。幾年來，我們圍繞發展學生的應用意識開展課型研究取得了一定成績，積累了一些經驗。舒萍、莫慧瓊、黃芳、楊如群等一批青年教師在教研中迅速成長，分別在自治區、市級優質課競賽中獲得一等獎，教學成績突出，受到學生廣泛好評。我們認為，教師的教不是簡單的結論教學，也不是重復訓練，只有關注數學應用意識，讓數學“接地氣”，培養學生的探究意識和創新精神，我們的課堂才能充滿生命力。

（責編 周翠如）endprint