HPME視野下數學“金字塔”模型研究

陳彥名

(湖南科技大學數學與計算科學學院，湖南湘潭411201)

1 HPM與PME的歷史簡介

“HPM”可以追溯到1972年在英國艾克賽特舉辦的第二屆國際數學教育大會(ICME)上的一個工作小組。國際數學教育心理學組織(PME)于1976年在德國的卡爾斯魯厄成立。綜合兩者來看，HPM側重研究如何將數學教學融合到數學史。其側重在“數學”上，即剖析數學發展的順序，探究在教學中的應用價值，以期讓學生了解數學史。數學的發展脈絡基本上是數與運算、圖形與幾何、方程與函數、無窮與極限、微分與積分;PME則主要研究當今的數學教育問題，深入到數學學習的心理活動，以更好地提升教師的教學技能與技巧，關注在于“人”，探究如何讓學生融入數學學習。HPME則是HPM與PME的復合簡稱，從雙視域下研究數學學習。本文側重從數學學習的某一部分——問題解決，來研究HPM與PME雙視域下的數學問題解決。

2 HPME視野下的數學問題解決之“金字塔”模型研究

2.1 “金字塔”模型的內涵研究

由圖1［1］120－125的“金字塔”模型可知，從I路線來看，法國數學家龐加萊認為:“數學課程的內容應完全按照數學史上同樣內容的發展流程展現給學生。”也就是說，結合數學教學內容的實際，教材內容的編寫可以顯性地出現其中，即某些歷史人物及其貢獻、重要歷史事件發生的時間等;也可以隱性地融入教科書，主要是數學家的思想方法。基于歷史發生原理，在數學問題解決過程中，學生的心理認知活動在相當程度上會重塑歷史上該知識的演變歷程，這正好與心理學上的“心理發展”理論形成默契;具體到某一模塊的知識(數與運算，圖形與幾何，方程與函數，無窮與極限，微分與積分等)，在數學問題解決過程中，學生的思維路徑或多或少會和古人一樣，發生認知障礙(個體在認知活動中內部出現的疑惑與混沌)。

從II路線著手分析，在數學問題解決過程中，隨著知識的儲備、經驗的積累和解題能力的提高，數學學習心理活動水平會由低級向高級的發展方向;數學心理活動包含著諸多因素，在數學問題解決思維活動過程中，它們之間的聯結不斷變化、重組與整合，形成螺旋式上升的認知技能。

以III路線來分析，通過數學問題解決的不斷深入與訓練，隨著大量的數學知識、概念和程序的建構，并且這些知識的存儲都是經過精細加工和組織化的，進而豐富陳述性知識和程序性知識，以獲得更多的產生式，這樣學生就可以實現生手→學徒→精熟→專家的發展模式。

圖1 “金字塔”模型

2.2 “金字塔”模型的內在關系

I，II，III3 線段的關系，如圖2 所示。

圖2 “金字塔”模型的內在關系

由圖2的“金字塔”模型的內在關系可以看出，I，II，III3線段是統一的有機整體，但同時又是相對獨立的。在整體上，三者互相交融，在數學問題解決過程中，學生在自學、合作學習及教師引導下，形成合力，達到“金字塔”模型之巔，有望成為數學問題解決的“專家”。從局部角度觀察，I線段是II和III線段的基礎，數學知識(數與運算，圖形與幾何，方程與函數，無窮與極限，微分與積分)是按照數學史的發展脈絡來編排，各級各類的數學問題是這些數學模塊知識的載體。II線段為I線段的內化，具體而言，就是在數學問題解決過程中，學生的數學心理活動內化于頭腦中，并選擇恰當的問題解決模式，通過一個或若干個算子，使問題的初始狀態向最終目標狀態推進，以完成數學問題解決。并在此基礎上，反復訓練問題解決能力，認知水平也由低級向高級發展，最終完成問題解決任務的目標。III線段是I線段的外顯，即在素質教育的背景下，按照新課標的學習指導與教學理念，讓學生通過解決數學史取向的數學問題，習得數學問題解決的方法，并付諸實踐，使學生實現由解題“生手”向解題“專家”轉化。II和III互為促進，共同提升。具體為:隨著學生的數學心理活動水平越來越高，學生的解決問題能力也按照生手→學徒→精熟→專家的趨勢發展;同樣，學生問題解決能力的提高，也會提升數學心理活動水平［2］56－60。

3 影響“金字塔”模型的主要因素

影響學生形成并運用“金字塔”模型的因素大致可以分為內部因素和外部因素。

3.1 外部因素

環境因素。包括社會背景、文化傳統、課堂氛圍、教師引導以及合作學習等，會影響到學生對問題的解決。

題型。選擇題、填空題、簡答題、分析題等類型。

問題的特點。即結構性、復雜性、動態性和專業性。

結構。每個問題都有自身的結構，這些結構包括問題的條件、陳述和結論等。

問題情境。一是可以結合數學史，將歷史融入課堂教學;二是教師重現問題的形成過程，深入探究學生產生學習困惑或障礙的原因，營造新的問題情境，以激發學生解決問題的興趣。

3.2 內部因素

知識基礎。即學生的先前知識及其表征。先前的知識經驗有利于學生在適當的時候選擇適當的策略、方法和算法。

解題策略。一是從宏觀角度出發的一般性策略，如波利亞的“怎樣解題表”，奧加涅相的解題4階段論——理解條件，制定計劃，實施計劃，研究解答;二是從微觀視角來分類，具體的數學思想方法，如分析與綜合法、歸納與演繹法、公理化方法、數學結合思想、RMI原理等思想方法。

元認知。即認知主體對自身心理狀態、能力、任務目標、認知策略等方面的認知。在數學問題解決過程中，元認知可以幫助學生監控和調節自己的認知進程，進而優化解題策略，并對認知過程進行反思和評價。

動機與信念。波利亞在《怎樣解題》中認為，“解題若是純粹的看作是一種智能活動是錯誤的，決心與情緒也起著很重要的作用。”［3］34－40學生具有良好的數學學習態度，可以促進數學問題的解決。匈菲爾德指出，“學生和數學家在數學問題解決中最大的差別就是信念。”教師將顯性或隱性的數學史知識融入到問題解決當中，可以增強學生成功解決問題的信念。

［1］鮑建生.數學學習的心理基礎與過程［M］.上海:上海教育出版社，2009.

［2］邵光華.作為教育任務的數學思想與方法［M］.上海:上海教育出版社，2009.

［3］波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京:科學出版社，1982.