圓類綜合題的構建剖析與探究總結

方國貝

【摘要】圓類綜合題在中考中十分常見，也是圓類知識考查的重要方式.探究剖析時需要立足考題開展考點分析，結合所學知識進行逐步剖析，在此基礎上總結方法，形成策略.本文結合2022年江蘇省各市的中考題開展圓類綜合題的解法探究，與讀者交流學習.

【關鍵詞】圓；三角函數；面積割補

圓是特殊的幾何圖形，也是初中階段需要重點掌握的圖形，與圓相關的綜合問題在中考中十分常見，命題形式多樣，解析突破需充分利用圓的性質，結合關聯知識逐步剖析，下面來深入探究圓類綜合題.

1 圓與三角函數

例1 ?（2022年揚州市中考卷第25題）如圖1所示，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點P，交過點B的直線于點C，且CB=CP.

（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

解析 （1）簡答，直線BC與⊙O為相切關系.

（2）分別作OM⊥AB，交AB于點M，再作CN⊥AB，交AB于點N，如圖1所示.

分析可知AM=BM，

因CP=CB，AO⊥CO，可推得∠A=∠PCN=∠BCN.

評析 上述考題的第（2）問將圓與三角函數相結合，解析時構建直角三角形，利用三角形的邊角關系來求線段長.銳角的三角函數是初中較為特殊的知識，需依托直角三角形來轉化，其破解策略需要學生靈活掌握，既能轉化三角函數值條件，也可利用直角三角形的三邊關系求值.

2 圓與圖形割補

例2 （2022年宿遷市中考卷第25題）如圖2，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D.

（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AB=4，求圖中陰影部分的面積.

解析 （1）略；

（2）記BC與⊙O的交點為M，連接OM，如圖2所示，

S陰影=S△ABC- S△BOM-S扇形AOM，

分析可知∠AOM=2∠ABC=90°，∠BOM=90°，

⊙O的半徑OA=2.

所以S陰影= 8－2－π=6－π.

評析 上述考題的第（2）問求陰影部分圖形的面積，開展圖形面積割補是突破的關鍵，即將陰影圖形視為是三角形與扇形的分割與組合.面積割補法是求解不規則圖形面積問題的有效方法，解析時需靈活分割圖形，將其拆解為規則圖形，然后基于圖形關系構建面積關系.

3 圓與網格探究

例3 如圖3所示的網格中，已知小正方形的邊長均為1，對應的頂點A、B、C、D、M均為格點.

操作探究 在探究課上，同學在圖3的網格中，使用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB和CD，兩線的交點為P，并給出部分推理過程，請進行補充：

解 在網格中取格點E，作出兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE.

在Rt△CDE中，?? ，

所以tan∠BAC=tan∠DCE.

所以∠BAC=∠DCE.

由于∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，

則∠ACP +∠BAC=90°，可推知∠APC=90°，則AB⊥CD.

（2）拓展應用 如圖5所示，以格點O為圓心作圓，請僅用無刻度的直尺，在弦AB上作出點P，使AM2=AP·AB，請寫出詳細的作法，并加以證明.

（1）略；

（2）取格點I，連接MI，與AB交于點P，如圖6所示，則點P為所求點，證明如下.

作直徑AN，再連接BM和MN，如圖6，

整理可得AM2=AP·AB.

4 結語

總之，上述所探究的三大圓類綜合題，分別從三角函數、圖形割補、網格綜合角度進行命題構建，剖析關聯、生成模型、結合所涉及知識分步突破是解題的關鍵.圓類綜合題的探究剖析，需要關注問題特征、知識考點、解析過程，從類型問題中總結破題方法，形成解題策略.