高等數(shù)學(xué)課中“無限思想”情景教學(xué)的設(shè)計

□ 徐曉東

高職高專的數(shù)學(xué)課與中學(xué)、小學(xué)不同，這時的數(shù)學(xué)叫高等數(shù)學(xué)(亦稱數(shù)學(xué)分析)。高等數(shù)學(xué)主要講授的是動態(tài)變化的量的計算問題，如汽車運行的瞬時速度，加速度等問題都要通過高等數(shù)學(xué)來解決。這種計算變化量的方法最早是由牛頓等人整理并應(yīng)用的。資料顯示，英國劍橋大學(xué)辦學(xué)時，遇到了困難，教師的工資數(shù)月沒有發(fā)放，在這關(guān)鍵時刻，牛頓把多年計算變化動態(tài)量的計算方法匯總整理，寫出一本書叫《高等數(shù)學(xué)》，并規(guī)定所有劍橋大學(xué)的學(xué)生都必須學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課，考試不及格，必須花高價補修補考，從此，劍橋大學(xué)又重新走向輝煌。由此可見，高等數(shù)學(xué)很重要也很難學(xué)。目前高職高專高等數(shù)學(xué)課也面臨著同樣的問題，學(xué)生學(xué)習(xí)困難重重，每個高數(shù)教師憂心忡忡，急于找到破解之門?！扒苜\擒王”，解決這一難題還要從高等數(shù)學(xué)的極限思想入手。因為高等數(shù)學(xué)是由極限的思想和理論產(chǎn)生發(fā)展起來的，并以極限為工具刻劃了微分和積分以及無窮級數(shù)等無限過程的概念，通過有限到無限變化過程的描述，把直與曲，方與圓，變與不變等矛盾從代數(shù)與幾何的雙重角度分析，歸納使之化為辯證的統(tǒng)一，那么有限與無限過程是如何演變的，在教學(xué)中用什么方法來強化無限思想的教學(xué)呢?

縱觀各類高等數(shù)學(xué)資料分析，高等數(shù)學(xué)不但將研究范圍擴大到無限，而且研究的手段也常常采用無限，例如求極限、導(dǎo)數(shù)、定積分都是一種無限的手段。它既能研究無限也能研究有限。其中，極限思想貫穿高等數(shù)學(xué)的始終，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須通過極限關(guān)。德國數(shù)學(xué)家外爾(H.Weyl 1885～1955)說過“數(shù)學(xué)是關(guān)于無限的科學(xué)”。因此學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，有效地灌輸極限思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，一個學(xué)生只有建立起無限的思想，才能很好地利用極限思想分析問題和解決問題。現(xiàn)實問題就是如何讓學(xué)生理解并接受無限的思想，經(jīng)過多次教學(xué)實踐，筆者嘗試了下面的方法來解決這一問題。

在講授高等數(shù)學(xué)知識之前，有必要先講授無限的思想(教科書中沒有的內(nèi)容)，使學(xué)生進入到一個無限的思想空間。為此，采用了情景教學(xué)，虛構(gòu)了一個旅館，這個旅館有無限個房間(這需要學(xué)生想象)，每個房間僅住一位客人，而且每個房間都住人了(客滿)。假如你是旅館老板，你如何解決下面的問題。

問題1:旅館客滿后又來了一位客人，老板怎么安排呢?

在這里，教師要引領(lǐng)學(xué)生如何理解無限個房間的含義。我們首先利用學(xué)生中學(xué)學(xué)習(xí)的平面幾何知識來協(xié)助理解，向?qū)W生提問，你見過直線嗎?事實上，沒有學(xué)生能回答這個問題，因為沒有人看見過直線。雖然沒有人看見過直線，但學(xué)生都理解直線，這是因為學(xué)生利用了自己的想象空間，能夠看到直線的無限性質(zhì)。當(dāng)人們有了對直線無限性質(zhì)的理解經(jīng)驗，就很容易理解射線了。射線就是有起始點但沒有終點的線。利用類比的方法，這個有無限個房間的旅館就是一條射線(事實上，一個線段也有無限個點)。解決問題的方法是，讓1號房間的客人到2號房間，2號房間的客人到3號房間，3號房間到4號房間，依次類推，空出1號房間，安排客人，問題就解決了。可見，如果這是有限房間的旅館，就無法解決這個問題了(具體安排方法如圖1所示)。

圖1

圖2

問題2:旅館客滿后，又來了一個旅游團，有無窮個客人，老板能安排嗎?

教師讓學(xué)生討論，一個無限的旅館，能否分成兩個無限的旅館?這是解決問題的關(guān)鍵。同學(xué)們很容易想到，自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，每一類都有無限個數(shù)，既然如此，我們就找到了解決問題的方法。老板需要重新安排原來的客人，方法是:將已經(jīng)入住的客人重新安排，1號到2號，2號到4號，3號到6號……k號到2k號……;接下來把新來的有無窮個客人的旅游團分別安排在標(biāo)有奇數(shù)號碼的1號、3號、5號、……2k+1號房間就行了。如此處理，問題便可以解決(具體安排方法如圖2所示)。

問題3:客滿后來了1000個旅游團，每個團里都有無限個客人，老板怎么安排?

已經(jīng)入住的客人，1號到1001號、2號到2002號、3號到3003號……k號到k×1001號……這中間都留下1000個房間，每個旅游團的第一號客人分別到第一個預(yù)留的1～1000號房間入住，每個旅游團的第二號客人分別到第二個預(yù)留的1002～2001號房間入住，每個旅游團的第三號客人分別到2003～3002號房間入住……以此類推，這1000個旅游團就能入住了，而且原來的客人也入住了。

通過這樣的情景教學(xué)，能使學(xué)生了解到，有限空間無法解決的問題，可以在無限的空間中解決。有了無限思想，運動就進入了數(shù)學(xué)，辯證法也進入了數(shù)學(xué);根據(jù)問題1，當(dāng)老板讓1號客人到2號房間，2號客人到3號房間……運動就產(chǎn)生了，而且永無休止。從本質(zhì)上來說，運動解決了問題，無限空間總能分成有限個無限空間。揭示本質(zhì)后，這個就是規(guī)律了，就可以推廣了。今后，來多少個旅游團，都可以解決了。例如，來了10，000個旅游團，每個旅游團都有無限個客人怎么辦?把原來旅館的k號客人安排到10，001×k號房間即可;來了837個旅游團，每個團有無限個客人怎么辦?把原來旅館k號房間的客人安排到838×k號房間即可。要善于總結(jié)，善于發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)規(guī)律。

事實上，這個情景教學(xué)中的無限是可數(shù)的無限，是有規(guī)律可循的無限思想。關(guān)于有限與無限，康托(Cantor)在其實變函數(shù)論中用集合理論來實現(xiàn)的。例如，自然數(shù)集合是無限可數(shù)的集合，整數(shù)集合是可數(shù)的集合，有理數(shù)集合是可數(shù)的集合，而實數(shù)集合是不可數(shù)集合。對于不可數(shù)的無限還需要進一步認(rèn)識。極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)。

掌握無限思想的目的是利用無限思想理解數(shù)學(xué)的極限思想。極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，高等數(shù)學(xué)就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問題的步驟一般可概括為:對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量;最后用極限計算來得到這結(jié)果。如果學(xué)生沒有建構(gòu)起無限思想，就無法理解并掌握極限思想，整個高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就困難了。極限思想是微積分的基本思想，高等數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問:“高等數(shù)學(xué)是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說:“高等數(shù)學(xué)就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。

通過這樣的情景教學(xué)片斷，多數(shù)高職學(xué)生能對無限思想有了清醒的認(rèn)識，然后筆者不失時機地講授函數(shù)的極限思想，并在極限思想下，讓學(xué)生掌握函數(shù)的連續(xù)性，計算函數(shù)變化率的極限，從而引進導(dǎo)數(shù)的概念，使整個微積分的學(xué)習(xí)變得輕松了。

［1］陸魁宏.關(guān)于認(rèn)識的有限性和無限性問題的幾點體會［J］.科學(xué)社會主義，2006

［2］詹姆斯·卡斯 .有限與無限的游戲:一個哲學(xué)家眼中的競技世界［M］.北京:電子工業(yè)出版社 ，2013

［3］杜江.無限思想與數(shù)學(xué)發(fā)展［J］.湖南教育(數(shù)學(xué)教師)，2007