基于多目標遺傳優化算法的PSA貼敷機單驅形式橫梁研究

魏 淼，王西峰，康運江，苗振海

（1.機械科學研究總院，北京 100044；2.機科發展科技股份有限公司，北京 100044）

0 引言

PSA 貼敷機能夠實現PSA 自動化貼敷，通過模組實現XY 向精確定位。現采用龍門雙驅結構，但由于橫梁雙電機驅動造成的同步性控制問題難以解決，設備不能有效提高生產效率。本文通過采用單驅結構來避免同步性控制，完成橫梁參數化設計。

設備定位系統結構中，橫梁作為主要移動部件，其機械精度是影響設備貼裝精度的重要因素之一。本文通過Pro/E 和Workbench 協同仿真完成單驅橫梁的參數化設計，并保證機械精度在±0.04mm 范圍之內。

1 建立數學參數模型

橫梁參數模型涉及尺寸優化，尺寸優化關鍵步驟是確定目標函數和設計變量。橫梁結構及參數定義如圖1所示。其中，Width 表示橫梁截面寬度，Hight 表示截面高度，N 表示橫梁掏空孔個數，Nlength 表示掏空孔截面長度，壁厚均設置為20mm。

圖1 模型參數定義Fig.1 The parameter definition of model

確定設計變量參數為：

式（1）中變量N 無量綱，其余單位為mm。PSA 貼敷機對橫梁有尺寸設計要求，因此可以定義變量X 在數學模型中的約束條件。在式 （2） 中，初始變量值為X0=[160，140，5，120]T，上下限值U=[180，160，8，200]T、L=[140，120，3，80]T。

橫梁參數化模型的目標函數如式（3）～（5），其中s（Xi）表示橫梁運行過程中的變形量，f一階（Xi）表示橫梁的一階模態固有頻率，m（Xi）表示橫梁質量。

綜上所述，橫梁參數化設計的數學模型為：

2 橫梁參數優化設計

2.1 橫梁參數化建模

通過Pro/E 建立橫梁的參數化模型，將模型導入Workbench 中分析。在Workbench 中引入模態分析模塊和瞬態動力學分析模塊，然后進行Pro/E 和Workbench協同仿真。

2.2 多目標遺傳算法優化

各參數設定好之后對橫梁進行優化。優化過程包括實驗設計、響應面和優化三部分。首先通過蒙特卡羅抽樣技術采集實驗樣點，計算每個實驗樣點的響應結果，然后通過二次插值構造出設計空間響應曲面，最后基于響應曲面完成目標函數的參數優化，選出滿足要求的解集。

實驗設計采用中心復合設計法，Workbench 根據數學模型中設計變量的上下限矩陣自動生成了25 個實驗樣點，根據這25 個實驗樣點值計算出響應結果，并生成響應曲面，得出擬合度和靈敏度等結果，方便數據處理。

2.3 橫梁優化結果分析

（1）擬合度曲線。根據響應面結果生成擬合度曲線，曲線上的點表示輸出參數預估值與實驗樣點觀察值的比值，用來判定響應面是否擬合實驗樣點。如圖2 所示，圖表橫坐標為設計點觀察值，縱坐標為響應面預測值，圖中的實驗樣點基本接近對角線，該實驗中得到的響應面擬合度較好。

圖2 目標函數的擬合度Fig.2 Goodness of fit of the objective function

（2）響應面。Workbench 可以根據響應面結果生成二維或三維響應曲面。通過響應曲面查看各輸入參數對輸出參數的影響，選擇判斷合適參數。

圖3 一階模態固有頻率對輸入參數N 的響應曲線Fig.3 The response curve of the one modal natural frequency to N

圖4 橫梁最大變形量對輸入參數N 和Nlength 的響應曲線Fig.4 The response curve of the beams maximum deformation to N and Nlength

若觀察單獨輸入變量對輸出變量值的影響，采用2D云圖，如圖3 為輸入參數N 對一階模態固有頻率影響，一階固有頻率負相關于參數N。若觀察兩個輸入變量對一個輸出變量的影響，采用3D 云圖，圖4 為輸入參數N 和Nlength 對橫梁最大變形量影響，橫梁最大變形量正相關于N 和Nlength。設備要求橫梁最大變形量在±0.04mm 范圍內，因此，最優解選擇最大變形量在0.04mm 值以下。

（3）局部靈敏度。局部靈敏度分析連續輸入參數對輸出參數的影響，是基于單個輸入參數變化下輸出參數的變化。本文截取靈敏度條狀圖結果，條狀圖分成三個縱欄，分別表示三個不同的輸出參數，每一欄中不同顏色的條框代表不同的輸入參數。條狀圖中靈敏度有大小和正負兩種含義，其中大小表示輸入參數在輸出參數所占的權重；正負則表示該輸出參數與輸入參數呈正 （負）相關關系。各參數對目標函數的靈敏度條狀如圖5 所示。

圖5 目標函數的局部靈敏度Fig.5 Local Sensitivity of the objective function

由靈敏度圖可以看出，參數N 和Nlength 對橫梁一階模態固有頻率影響權重最大，且呈負相關性；對橫梁運行過程中最大變量值影響最大，且呈正相關性；對橫梁質量影響較大，呈正相關性。還可以發現，橫梁截面尺寸對橫梁的最大變形量幾乎沒有影響，對橫梁的質量有影響。

3 橫梁參數化優化結果

完成上述結果分析之后，通過Workbench 生成各參數圖表并找出最優解。按優先級比較，各組解首先要保證橫梁的最大變形量在±0.04mm 范圍之內，其次保證橫梁質量盡量小，最后要求橫梁一階模態固有頻率滿足避免共振的要求。

3.1 橫梁參數化計算結果

根據實際情況輸入參數N 是整數，故優化數據結果分成6 組。根據局部靈敏度的分析，輸出參數橫梁質量與橫梁截面的長寬呈正比關系，故在結果提取過程中保證橫梁截面尺寸在上下限范圍之內越小越好。在參數化分析計算結果中，得到表1 數據。

表中N 為整數，無量綱，Nlength、Width、Hight、Length四個輸入參數單位均為mm，f1 表示在橫梁實際運行中的最大變形量，f2 表示橫梁的一階模態固有頻率，f3 表示橫梁質量。

對上述表格數據進行分析： 將橫梁截面尺寸設置在允許范圍內最小值，根據靈敏度分析，f1 與參數Nlength 呈正相關關系。當輸入參數N 為7 和8 時，輸入參數Nlength 為最小值時，橫梁最大變形量f1 最小為0.048mm 和0.58mm，超過設計允許范圍之內。當N 分別為3、4、5、6 時，均可以滿足設計條件。

當N 為6 時，Nlength 的最大值為166mm，此時橫梁的最大加速度值為一個g 值。當N 小于6 時，橫梁輸入參數Nlength 和輸出參數最大變形量均有提升的空間，同時橫梁的最大加速度值也可以提升，這樣便能有效地提高設備定位系統的工作效率。

3.2 橫梁改動前后對比

根據現有PSA 貼敷設備雙驅動形式結構梁尺寸數據，選取參數為優化之后的橫梁參數。令橫梁結構尺寸： Width=140mm、Hight=120mm、N=4、Nlength=182mm。計算得到橫梁長度： Length=828mm，跨距688mm，原雙驅動橫梁長度826mm，跨距690mm。

用優化后的設計變量重新生成模型，并與原來模型進行對比分析如表2 所示。表中定義Vmax為橫梁所能達到的最大速度，定義amax為橫梁在運行過程中達到的最大加速度值，根據數據分析得出結論： ①當速度為1m/s和1.75m/s，加速度為10m/s2和17.5m/s2時，優化前的結構均不滿足機械精度要求，優化后的橫梁均能達到要求；②當速度為1m/s，加速度為10m/s2時，優化后的模型相對于優化前最大變形量降低62.7%，當數值為1.75m/s 和17.5m/s2時，優化后的模型相對于優化前最大變形量降低63.9%；③優化后的橫梁相對于優化前的橫梁一階模態固有頻率提高75%。

表2 模型優化前后各目標函數值對比Tab.2 The comparison of the objective function value before and after the model optimization

4 結論

（1）本文建立了橫梁的參數數學模型，并根據數學模型建立了橫梁的參數化模型。

（2）通過Pro/E 與Ansys Workbench 的協同仿真，基于模態分析和瞬態動力學分析對橫梁進行了參數優化設計，得出了滿足設計要求的最優解。

（3）得出最優解橫梁參數，生成橫梁模型進行模態分析和瞬態動力學分析，優化后的模型相對于原有模型的一階固有頻率提高75%，橫梁最大變形量在某一工況條件下提高62.7%。

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