在建模活動過程中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換

李海東

斯托利亞爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”[2]，學(xué)生如果能熟練進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，就能提高分析問題和解決問題的能力。教師如果能把數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換有機(jī)融合，課堂教學(xué)就能事半功倍。數(shù)學(xué)語言包括符號語言、文字語言和圖形語言三種。文字語言是“數(shù)學(xué)化”的自然語言，能準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)對象及其相互關(guān)系、能充分揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)；符號語言是思維的高度濃縮，能非常精煉和準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵；圖形語言不但是學(xué)生形象思維的有效載體，而且是學(xué)生形象思維的結(jié)果，還是學(xué)生進(jìn)行抽象思維的工具，能準(zhǔn)確表達(dá)知識的數(shù)學(xué)特征。雖然它們的表現(xiàn)形式不同，但表示相同數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性一致，彼此之間可以相互轉(zhuǎn)換。現(xiàn)以“平行四邊形面積”教學(xué)為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在建模活動過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換。

一、 經(jīng)歷模型準(zhǔn)備過程，把圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言

模型準(zhǔn)備就是教師通過展示現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)原型，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備工作。模型準(zhǔn)備能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、喚醒學(xué)生的探究欲望。模型準(zhǔn)備需要根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)：可以由教師直接提出問題，也可以由教師通過講故事的形式引導(dǎo)學(xué)生提出問題，還可以由教師出示圖形引導(dǎo)學(xué)生提出問題。學(xué)生在模型準(zhǔn)備過程中抽象數(shù)學(xué)問題時，往往需要進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換：或者是文字語言之間的相互轉(zhuǎn)換，或者是圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言。

課始，筆者用課件出示一個長方形花壇和一個平行四邊形花壇圖（圖1）：

讓學(xué)生比較哪個花壇大些？學(xué)生根據(jù)直覺無法判斷，認(rèn)為要根據(jù)它們的面積才能比較。筆者給花壇圖標(biāo)上數(shù)據(jù)后，學(xué)生很快用長×寬求出長方形的面積，但不會求平行四邊形面積。于是，筆者先引導(dǎo)學(xué)生回憶平行四邊形的特征和面積的意義，接著讓學(xué)生表示圖2中平行四邊形的面積，最后引導(dǎo)學(xué)生說說圖中3個數(shù)據(jù)分別表示的意義，認(rèn)識平行四邊形的底（6厘米）、高（4厘米）以及與底相鄰的邊（圖中5厘米長的線段），幫助學(xué)生完成模型準(zhǔn)備的過程。

在模型準(zhǔn)備過程中，引導(dǎo)學(xué)生把圖形語言轉(zhuǎn)換成文字語言，不但能激發(fā)他們的探究興趣，而且能為他們探究新知、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

二、 經(jīng)歷模型驗(yàn)證過程，把文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言

模型驗(yàn)證就是學(xué)生根據(jù)已有認(rèn)知發(fā)展水平和知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，結(jié)合自己的觀察和思考提出猜想或假設(shè)，但假設(shè)可能是正確的，也可能是錯誤的，需要設(shè)計(jì)出一些有效的方法對學(xué)生提出的假設(shè)進(jìn)行判斷，為后續(xù)研究確定正確的方向。學(xué)生在驗(yàn)證過程中，需要有目的地進(jìn)行操作、交流或質(zhì)疑等活動。在這個過程中，學(xué)生不可避免地需要借助語言轉(zhuǎn)換肯定或否定自己的假設(shè)。操作驗(yàn)證就是把假設(shè)的文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言。

學(xué)生根據(jù)長方形和正方形面積公式猜測圖2中平行四邊形的面積時，有的學(xué)生認(rèn)為是5×6=30平方厘米，有的學(xué)生認(rèn)為是5×4=20平方厘米，還有的學(xué)生認(rèn)為是6×4=24平方厘米。這三種假設(shè)是否正確呢？學(xué)生經(jīng)過思考，認(rèn)為同一個平行四邊形面積不可能有三種不同的結(jié)果。也就是說，可能有一種答案正確，也可能三種答案都不對。怎么驗(yàn)證呢？學(xué)生合作用邊長1厘米的小正方形進(jìn)行操作：

圖3 圖4

發(fā)現(xiàn)圖3中鋪上5×4=20個小正方形時，不能鋪滿整個平行四邊形，也就是說平行四邊形的面積比20平方厘米大，因此5×4=20平方厘米是錯誤的；繼續(xù)鋪小正方形，圖4中鋪上7×4=28個小正方形時，超出了平行四邊形，也就是說平行四邊形的面積小于28平方厘米，因此5×6=30平方厘米是錯誤的。剩下的假設(shè)——6×4=24平方厘米是否正確呢？筆者借助課件演示，把圖5轉(zhuǎn)化成圖6，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積真的是6×4=24平方厘米。

圖5 圖6

用邊長1厘米的小正方形驗(yàn)證假設(shè)是否正確，就是學(xué)生把文字語言轉(zhuǎn)換成圖形語言的過程，不但直觀，而且具有很強(qiáng)的說服力，凸顯了圖形語言的優(yōu)勢。借助圖形語言，學(xué)生不斷驗(yàn)證猜想、否定猜想，并最終發(fā)現(xiàn)正確的猜想。學(xué)生在驗(yàn)證假設(shè)的過程中不斷把文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，同時初步感悟了數(shù)學(xué)模型。

三、 經(jīng)歷模型確立過程，把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言

數(shù)學(xué)建模的目的不只是為了獲得結(jié)論，更是為了促進(jìn)學(xué)生在確立數(shù)學(xué)模型的過程中內(nèi)化知識、升華思想。確立數(shù)學(xué)模型時，我們要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)踐，結(jié)合所觀察的現(xiàn)象，歸納、概括出模型內(nèi)部因素之間的數(shù)量關(guān)系或具體算法（公式、法則或運(yùn)算律等），以便確立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。數(shù)量關(guān)系或具體算法往往要用字母表示，這就需要學(xué)生把圖形語言轉(zhuǎn)換成符號語言。

筆者先出示圖7讓學(xué)生判斷兩個圖形的面積是否相等，并說說理由，學(xué)生思考后認(rèn)為把左圖中凸出的小三角形剪開、平移后就能拼成右邊的長方形，因而面積相等；接著筆者出示一個平行四邊形讓學(xué)生嘗試轉(zhuǎn)化成長方形：有的學(xué)生沿平行四邊形的高剪下一個三角形轉(zhuǎn)化成長方形；有的學(xué)生沿平行四邊形的高剪下一個梯形轉(zhuǎn)化成長方形。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考為什么要沿著高剪開？一共有多少種剪法？為什么？轉(zhuǎn)化后的長方形和原來的平行四邊形有什么關(guān)系？轉(zhuǎn)化后的長方形的長和寬與原來平行四邊形的底和高之間分別有什么關(guān)系？根據(jù)長方形的面積公式猜一猜如何計(jì)算平行四邊形的面積？學(xué)生獨(dú)立思考后小組交流，很快發(fā)現(xiàn)平行四邊形和轉(zhuǎn)化后的長方形之間的關(guān)系，并根據(jù)“長方形的面積=長×寬”類推出“平行四邊形的面積=底×高”。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試用符號表示平行四邊形的面積公式。學(xué)生嘗試用個性化符號表示后，發(fā)現(xiàn)用字母表示最簡潔，最終歸納出用“s=ah”表示平行四邊形面積的方法。

學(xué)生建構(gòu)平行四邊形面積公式模型的過程，就是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程：把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，實(shí)現(xiàn)了圖形語言之間的轉(zhuǎn)換；歸納概括出平行四邊形的面積=底×高，實(shí)現(xiàn)了圖形語言轉(zhuǎn)換成文字語言；把文字語言表示的公式用字母表示，實(shí)現(xiàn)了文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言。在不斷轉(zhuǎn)換的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了具體事物、個性化符號表示和“數(shù)學(xué)地表示”的逐步符號化過程，不但學(xué)會用簡潔的符號語言表示平行四邊形面積，而且初步掌握了數(shù)學(xué)建模方法。

四、 經(jīng)歷模型拓展過程，把圖形語言轉(zhuǎn)換為圖形語言

根據(jù)具體問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型不是學(xué)生認(rèn)識的最終目的，我們還要有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，拓展已有的數(shù)學(xué)模型。拓展數(shù)學(xué)模型就是引導(dǎo)學(xué)生對模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)變化，促進(jìn)學(xué)生把大腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組和優(yōu)化，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)模型。拓展數(shù)學(xué)模型，不但能幫助學(xué)生鞏固已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，而且能促使學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。學(xué)生在拓展數(shù)學(xué)模型的過程中，同樣離不開數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換。

模型拓展時，筆者引導(dǎo)學(xué)生解決下面兩個問題：

1.在方格紙上畫兩個形狀不同的平行四邊形，使它們的面積都和圖中長方形的面積相等。（圖中方格邊長都是1厘米）

2.先畫一組平行線，再畫一組平行線，可能畫出什么圖形？

練習(xí)第1題時，學(xué)生嘗試畫圖后，通過交流，發(fā)現(xiàn)畫圖時只要所畫平行四邊形的底和高與圖中長方形的長和寬分別相等，那么所畫圖形和它的面積就相等，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)滿足底×高=15平方厘米的平行四邊形都符合要求；練習(xí)第2題時，有的學(xué)生畫出了長方形、有的學(xué)生畫出了正方形，有的學(xué)生畫出了平行四邊形。交流后，我出示圖9，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析這些等底等高的圖形的面積相等。在此基礎(chǔ)上，我出示圖10，學(xué)生猜想后再用課件演示圖形平移的過程（圖11），驗(yàn)證學(xué)生的猜想——面積相等。

學(xué)生畫平行四邊形的過程就是長方形和平行四邊形圖形語言的轉(zhuǎn)換；學(xué)生畫2組平行線，是線與面圖形語言之間的轉(zhuǎn)換；學(xué)生判斷不規(guī)則圖形和平行四邊形的面積是否相等，是不規(guī)則圖形和規(guī)則圖形之間的語言轉(zhuǎn)換。這樣借助圖形語言之間的相互轉(zhuǎn)換，學(xué)生不但豐富了知識表象，而且拓展了數(shù)學(xué)模型——等底等高的平行四邊形面積相等，還進(jìn)一步內(nèi)化了數(shù)學(xué)模型，初步形成了模型思想，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

總之，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，不但有助于學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)，而且能促進(jìn)學(xué)生合理使用各種數(shù)學(xué)語言，幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的理解，還能提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而提高教學(xué)效率。當(dāng)然，教學(xué)過程中的文字語言，圖形語言和符號語言不是絕對孤立轉(zhuǎn)換的，有時是幾種語言的相互轉(zhuǎn)換，有時還要借助自然語言和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換才能達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

【責(zé)任編輯：陳國慶】