讓學(xué)生徜徉在數(shù)學(xué)美的世界里

張良朋++翟靜

數(shù)學(xué)，美嗎？這是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)教育問題。在我們的一次學(xué)情調(diào)研中，84%的學(xué)生給出了“數(shù)學(xué)不美”的回答。然而，古今中外的數(shù)學(xué)家卻以其親身體驗(yàn)表明“數(shù)學(xué)的美妙不可言”。古希臘的普洛克魯斯說：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”意大利的伽利略說：“美是自然，數(shù)學(xué)作為書寫宇宙的文字，反映著自然，數(shù)學(xué)中當(dāng)然存在著美。”我國的華羅庚說：“數(shù)學(xué)是壯麗多彩，千姿百態(tài)，引人入勝的。”顯然，作為數(shù)學(xué)教師的我們?nèi)绻麩o法讓學(xué)生看到和體會(huì)到數(shù)學(xué)的美、欣賞和表現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，那數(shù)學(xué)在學(xué)生心目中就將是相貌平常、內(nèi)涵淺薄的，甚至是丑陋、令人厭煩的。那么，如何展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)美，進(jìn)而成為數(shù)學(xué)美的創(chuàng)造者呢？筆者帶領(lǐng)一個(gè)數(shù)學(xué)教研團(tuán)隊(duì)對(duì)此做了一些初步的嘗試和探討，希望能給大家?guī)硪恍┯幸娴慕梃b。

一、 尋找美，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)美的“存在”

案例1：尋找“最美長方形”的比賽。

在教學(xué)“黃金分割”一課時(shí)，我設(shè)計(jì)了一個(gè)導(dǎo)入環(huán)節(jié)——“長方形選美比賽”。

師：同學(xué)們，首先讓我們舉行一場(chǎng)“長方形選美比賽”，請(qǐng)你作評(píng)委。你覺得哪一個(gè)長方形最美呢？

① ②

③ ④

（學(xué)生熱情非常高，彼此議論著，多數(shù)選擇了①號(hào)。）

師：你們?yōu)槭裁从X得第一個(gè)長方形最美呢？

生1：②號(hào)長方形挺扁的，③號(hào)長方形過于“苗條”了，④號(hào)長方形方方正正的，感覺挺胖的，也不好看。

生2：只有①號(hào)長方形不胖不瘦，看上去很舒服。

生3：我感覺像①號(hào)長方形這樣，長和寬有差別但又不是太大的，是最好看的。

師：同學(xué)們，你知道嗎？早在一百多年前，德國心理學(xué)家費(fèi)希納也做過一個(gè)類似的“長方形展覽會(huì)”，要求參觀者選擇各自認(rèn)為最美的長方形。結(jié)果得票最高的長方形的寬與長的關(guān)系與我們今天大多數(shù)同學(xué)的看法是一致的。美的原因就在長和寬的比上，你想到了嗎？

至此，同學(xué)們被數(shù)學(xué)圖形中存在著的這種有些奇妙的關(guān)系深深吸引。

數(shù)學(xué)中不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的眼睛。有不少人往往把數(shù)學(xué)視作極其枯燥乏味的東西，對(duì)它沒有絲毫的興趣，但事實(shí)上并非如此。數(shù)學(xué)本身包含著豐富多樣的美，只要我們敏于觀察，用心體悟，努力尋找，就能發(fā)現(xiàn)。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)積極組織學(xué)生開展“尋找最美的數(shù)”“尋找最美算式”“尋找最美公式”“尋找最美圖形”“尋找最美數(shù)學(xué)符號(hào)”等一系列找美活動(dòng)，在尋找過程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)的美，投入其中，不僅獲得了美的熏陶，還獲得了智慧的啟迪。

二、 發(fā)現(xiàn)美，讓學(xué)生捕捉到數(shù)學(xué)美的“內(nèi)在”

案例2：“最美圖形”不只美在外表，內(nèi)涵更美。

師：看來長方形好看不好看，與它的長和寬的比有關(guān)。怎樣表示長方形中長和寬之間比的關(guān)系呢？（出示①號(hào)長方形的長與寬的數(shù)據(jù)：長5厘米、寬3.1厘米。）

結(jié)合學(xué)生回答，師板書：

5÷3.1≈1.613 3.1÷5=0.62

師：我們發(fā)現(xiàn)，寬與長的比值很接近一個(gè)數(shù)0.618——這在數(shù)學(xué)上叫“黃金分割點(diǎn)”。這種情況下長與寬的構(gòu)成關(guān)系看上去特別美。

師：請(qǐng)同學(xué)們分別測(cè)量學(xué)習(xí)活動(dòng)單上五角星中C點(diǎn)到A點(diǎn)、C點(diǎn)到B點(diǎn)的距離。計(jì)算AC：AB和BC：AC的比值分別是多少，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

（學(xué)生動(dòng)手測(cè)量，教師個(gè)別指導(dǎo)）

學(xué)生通過測(cè)量計(jì)算，發(fā)現(xiàn)AC：AB和BC：AC的比值都很接近0.618。

師：一個(gè)普遍的事實(shí)是，不管怎樣，自從這個(gè)“黃金比”被發(fā)現(xiàn)以后，無論什么物體、圖形和設(shè)計(jì)作品，只要它各部分的關(guān)系與這種分割法相符，這類物體、圖形、作品就能給人最悅目、最和諧的印象之美。

達(dá)·芬奇認(rèn)為：“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上。”我沒有讓學(xué)生停留在美的視覺直觀、整體和諧的層面上，而是引導(dǎo)學(xué)生參與測(cè)量、計(jì)算、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生逐漸觸及到了數(shù)學(xué)在其中顯現(xiàn)的美學(xué)價(jià)值。“原來數(shù)學(xué)藏在這里呀！”學(xué)生的感嘆很好地證明了數(shù)學(xué)美不主要在外表，而在其數(shù)學(xué)內(nèi)涵，數(shù)學(xué)美主要是一種“內(nèi)在美”。懷特黑特說過，作為人類精神最原始的創(chuàng)造，只有音樂堪與數(shù)學(xué)媲美。的確，數(shù)學(xué)和音樂堪稱是人類兩種最大的精神產(chǎn)品與智慧結(jié)晶，用極其簡單的符號(hào)卻造就了無限的真的世界和無窮的美的世界。當(dāng)然，數(shù)學(xué)中的美不是藝術(shù)家們用色彩、線條、音符與旋律產(chǎn)生的直接訴諸視覺和聽覺的較為生動(dòng)形象和夸飾的美。只有借助思維活動(dòng)，用數(shù)學(xué)的眼光去看，用數(shù)學(xué)的頭腦去想，我們才能真正捕捉到數(shù)學(xué)美的“內(nèi)在”，數(shù)學(xué)美才會(huì)成為我們體味和把握的對(duì)象，進(jìn)而激蕩和陶冶我們的審美情趣。

三、 表現(xiàn)美，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)美的“豐富”

案例3：數(shù)學(xué)美，多種多樣的美。

師：黃金分割帶來的美，絕不僅僅是圖形中的。這種美已滲透到了很多領(lǐng)域。請(qǐng)看：

（1）建筑中的黃金分割：

（2）芭蕾舞中的黃金分割：

（3）雕塑中的黃金分割：

（4）動(dòng)物中的黃金分割：

……

這里僅僅列舉了黃金分割比所展現(xiàn)的美的一小部分，就足以讓學(xué)生們嘆為觀止。黃金分割比帶來的美，不是一種狹隘的、粗俗的美，而是一種內(nèi)蘊(yùn)豐富的、精致的美。徜徉在紛繁多姿的美韻世界里，數(shù)學(xué)的美，既沖擊著學(xué)生的視覺，也震撼著學(xué)生的頭腦，豐富著學(xué)生的審美世界，涵養(yǎng)著學(xué)生的審美情操。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)展現(xiàn)數(shù)學(xué)美的多個(gè)層面，多角度、多層次、多方位地為學(xué)生提供美的資源，學(xué)生欣賞著、體驗(yàn)著、贊嘆著、思想著，數(shù)學(xué)美在學(xué)生的心田里蓬勃地自由綻放。其實(shí)，數(shù)學(xué)美還有很多表現(xiàn)類型，比如數(shù)學(xué)圖形的簡潔美，數(shù)學(xué)公式的簡約美，數(shù)學(xué)符號(hào)的對(duì)稱美，數(shù)學(xué)規(guī)律的嚴(yán)謹(jǐn)美，數(shù)學(xué)表現(xiàn)的構(gòu)圖美，數(shù)學(xué)思想的深刻美等等，無一不讓人著迷和沉醉。

四、 研究美，讓學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)美的“深邃”

案例4：神奇的“無8數(shù)”，一種有境界的美。

所謂“無8數(shù)”，就是由1、2、3、4、5、6、7、9八個(gè)數(shù)字組成的一個(gè)八位數(shù)——12345679。“無8數(shù)”雖然是由普通的八個(gè)數(shù)字組成的，但是它卻具有許多奇特的功能。它與幾組性質(zhì)相同的數(shù)相乘，會(huì)產(chǎn)生意想不到的結(jié)果。我們?cè)?jīng)讓學(xué)生借助計(jì)算器來研究它的許多數(shù)學(xué)性質(zhì)，學(xué)生屢屢發(fā)出“不可思議、妙不可言”的心聲。

例如：

（1）12345679與9、18、27、36、45、54、63、72、81相乘，結(jié)果會(huì)由清一色的數(shù)字組成：

12345679×9=111111111（清一色的“1”）

12345679×18=222222222（清一色的“2”）

12345679×27=333333333（清一色的“3”）

12345679×36=444444444（清一色的“4”）

……

（2）12345679與12、15、21、24……（3的倍數(shù)，其中9的倍數(shù)除外）相乘，得出由3個(gè)數(shù)字組成的“三位一體”這種特殊的結(jié)果：

12345679×12=148148148（“148”三次循環(huán)）

12345679×15=185185185（“185”三次循環(huán)）

12345679×21=259259259（“259”三次循環(huán)）

12345679×24=296296296（“296”三次循環(huán)）

……

隨著對(duì)“無8數(shù)”研究的深入，這種有趣的性質(zhì)帶給學(xué)生越來越多美的發(fā)現(xiàn)。有一位數(shù)學(xué)家曾說過：“感受到自然和人類的美，并用美麗的語言謳歌她，這就是詩歌；用美麗的色彩和形態(tài)去表現(xiàn)她，這就是繪畫；而感受到存在于數(shù)與形的美，并以理智引導(dǎo)下的證明去表現(xiàn)她，這就是數(shù)學(xué)。”常常有人低估了數(shù)學(xué)美的價(jià)值，認(rèn)為數(shù)學(xué)美不過是一種膚淺的裝飾，是經(jīng)不起考究的偶然現(xiàn)象，其實(shí)，數(shù)學(xué)美絕不像看上去那么簡單。愈是深入地研究，你越會(huì)感到數(shù)學(xué)美的深邃，以及由這種深邃所引發(fā)的強(qiáng)大的力量。

五、 創(chuàng)造美，讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)美的“價(jià)值”

案例5：創(chuàng)造著、美麗著、享受著。

為了讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)美的價(jià)值，我們常常選取一些蘊(yùn)含著美的光輝的簡易素材引領(lǐng)學(xué)生投入到美的創(chuàng)造中。盡管小學(xué)生尚未掌握高深的數(shù)學(xué)，不具備精深的思維能力，但學(xué)生卻用自己稚嫩的手、自由的思、開放的原創(chuàng)力創(chuàng)造出了令我們驚嘆的數(shù)學(xué)美。

請(qǐng)欣賞學(xué)生借助電腦完成的“杰作”：

（1）2的倍數(shù)在64數(shù)表中的位置之美：

（2）3的倍數(shù)在64數(shù)表中的位置之美：

（3）4的倍數(shù)在64數(shù)表中的位置之美：

（3）8的倍數(shù)在64數(shù)表中的位置之美：

投入到對(duì)數(shù)學(xué)美的創(chuàng)造活動(dòng)中，學(xué)生獲得了更為獨(dú)特和深刻的美的體驗(yàn)。學(xué)生不時(shí)迸發(fā)出的創(chuàng)作靈感，讓作為教師的我們也獲得了非同尋常的審美體驗(yàn)和創(chuàng)作激情。數(shù)學(xué)美成為數(shù)學(xué)教學(xué)中一道格外亮眼的風(fēng)景線。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯一語中的：“數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家創(chuàng)造了美好的新概念；數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家的生活、言行如同藝術(shù)家一樣；數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家就是這樣認(rèn)為的。”由此我們進(jìn)一步領(lǐng)悟到，數(shù)學(xué)因創(chuàng)造而美，美因數(shù)學(xué)而增添光彩，生活因數(shù)學(xué)美而變得更加豐富和精彩。

讓學(xué)生徜徉在數(shù)學(xué)美的世界里，以美怡情、以美導(dǎo)真、以美悟理，這是我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)上的一貫主張和矢志追求的目標(biāo)。我們邁出了“從美出發(fā)、向美而生”的第一步，今后將繼續(xù)堅(jiān)持并用心完善它。 【責(zé)任編輯：陳國慶】