從函數(shù)定義域談學生數(shù)學思維品質的培養(yǎng)

谷楊

（重慶市銅梁中學 重慶銅梁 402560）

從函數(shù)定義域談學生數(shù)學思維品質的培養(yǎng)

谷楊

（重慶市銅梁中學 重慶銅梁 402560）

數(shù)學思維品質是指個體在數(shù)學實踐或數(shù)學訓練中所表現(xiàn)出來的思維活動的外部特征，它包括思維的嚴密性、靈活性、深刻性、批判性和敏捷性等品質。然而高中數(shù)學中函數(shù)是一條主線，函數(shù)的定義域又是函數(shù)的三大要素之一，單純地求解函數(shù)的定義域似乎很簡單，然而在解決實際問題中稍不注意，就會得到錯解。在解函數(shù)題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數(shù)學思維品質是非常重要的。下面本人就函數(shù)定義域教學與數(shù)學思維品質的培養(yǎng)來淺談自己的看法。

高中數(shù)學 函數(shù)定義域 思維品質

學生進入高中，學習集合這一基本工具后，就開始了高中函數(shù)的學習。用集合的觀點定義了函數(shù)，進而開始了對函數(shù)的研究。然而，不管是求函數(shù)解析式、值域，還是研究其性質，都離不開對定義域的研究。[1]

一、函數(shù)關系式與定義域

函數(shù)關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數(shù)的關系式時必須要考慮所求函數(shù)關系式的定義域，否則所求函數(shù)關系式可能是錯誤。如：

例1：用籬笆圍一個矩形菜園，現(xiàn)有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數(shù)關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為(50—x)米，由題意得：S=(50-x)

故函數(shù)關系式為：S=x(50-x).

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0＜x＜50

即：函數(shù)關系式為：S=x(50-x)（0＜x＜50）

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。這體現(xiàn)了思維的嚴密性，培養(yǎng)學生此項品質是十分必要的。

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當定義域和對應法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應注意函數(shù)定義域。如：

所以當t=0時，ymin=1.

故所求的函數(shù)值域是[1,+∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產(chǎn)生。

初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學生思維缺乏靈活性。學生只知道利用對稱軸求二次函數(shù)最值。然而，那往往是定義域是R的時候，當條件改變時，需要考慮完善。本題還要繼續(xù)做下去：

這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，應注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。

三、函數(shù)單調性與定義域

函數(shù)單調性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。如：

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調性，就說明學生對函數(shù)單調性的概念一知半解，在做練習或作業(yè)時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。此題正解應該是函數(shù)的單調遞增區(qū)間單調遞減區(qū)間是

四、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間關于坐標原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學生解題思維的敏捷性

如果學生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性可能得出如下錯誤結論：

綜上所述，在求解函數(shù)關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生辨析理解能力，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質，激發(fā)學生的創(chuàng)造力。

[1]劉紹學，錢珮玲，章建躍.普通高中課程標準實驗教科書[M].北京:人民教育出版社,2007.1.

[2]田萬海.數(shù)學教育學[M].浙江:浙江教育出版社1993.