幾個類似例題的不同積分方法

許志宏 張 濤

（日照職業技術學院公共教學部，山東 日照276800）

0 引言

不定積分是高職理工科學生學習高等數學的重要內容，熟練掌握不定積分的計算方法對學好微積分乃至整個高等數學起著至關重要的作用，同時不定積分的計算對思維的培養以及學生的所學專業課也有重要作用．面對不定積分中被積函數的細微差別，高職學生會感覺束手無策，不知該選擇何種積分方法。筆者在多年的高等數學教學過程中發現對于一些特定的兩個函數乘積的積分，學生總是掌握的不夠好，不能很準確地找到合適的解題方法。如何幫助學生盡快掌握這一類不定積分計算方法呢？本文主要想經過對常見的兩個不同類型的函數相乘的不定積分計算問題進行分析、研究、總結，旨在創造有效的學習途徑，使學生盡快掌握基本的積分方法與技巧，對不定積分的計算方法有整體的掌握．

1 內容

1.1 用第一類換元積分法

當兩個函數相乘時，特別是冪函數與內函數也是冪函數的復合函數相乘時，注意到若冪函數的次數比另一個復雜函數的內函數的次數低一次時，該類型的不定積分可以考慮用第一類換元積分法（即湊微分法）來求解。

1.2 用分部積分法

當冪函數與內函數也是冪函數的復合函數相乘時，注意到若冪函數的次數比另一個復雜函數的內函數的次數高時，該類型的不定積分可以考慮用分部積分法來求解。

該題用了一次分部積分法。

該題是在例4的基礎上用了二次分部積分法。例6求

解：

該題是在例5的基礎上用了三次分部積分法。

2 總結

通過上面的實例分析可知，冪函數與內函數也是冪函數的復合函數相乘時，形如 則可以考慮用第一類換元積分法；形如

可以考慮用分部積分法。當然，不定積分的計算方法有很多種，筆者只是針對被積函數是冪函數與內函數也是冪函數的復合函數相乘這類情況做了分析研究與總結。我們要在掌握了不定積分的幾種常用方法的基礎上，抓住被積函數的特征，做到選擇適當的積分方法，活學活用、及時總結分析，以便靈活運用不定積分的計算方法。

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