酉不變范數不等式

劉 新， 楊曉英， 王亞強

(1.四川信息職業技術學院 基礎教育部，四川 廣元628017;2. 寶雞文理學院 數學與信息科學學院，陜西 寶雞721013)

酉不變范數是矩陣理論的一個重要研究領域，在矩陣計算、優化領域、最佳逼近問題以及擾動理論中有著重要的應用。關于矩陣酉不變范數不等式問題是矩陣不等式的研究熱點之一，近年來受到國內外學者的廣泛關注［1-8］。Bhatia R 等［3］研究了矩陣范數下幾何算術平均值不等式;Kittaneh F 等［4］得到一些Young 不等式和Heinz 不等式的改進結果;ZOU Limin 等［5］研究了一些標量不等式，得到在Hilbert-Schmidt 范數下Heinz 不等式的改進式;Bhatia R 等［6］證明了對于所有的酉不變范數，4‖AB‖≤‖(A + B)2‖均成立。

文中在文獻［5］的基礎上，給出一組新的標量不等式和Hilbert-Schmidt 范數不等式，新不等式推廣了文獻［5］中的相應結果。

1 預備知識

記Mm，n為m × n 階復合矩陣，Mn= Mn，n。設λ1(A)，…，λn(A)為矩陣A 的所有特征值，并且| λ1(A)| ≥…≥| λn(A)|。設A，B ∈Mn是半正定矩陣，A ≥B 表示A－B 是半正定的。A ∈Mn的奇異值定義為A*A 的特征值的非負平方根。用s1(A)≥…≥sn(A)表示A ∈Mn的奇異值，幷記s(A)= (s1(A)，…，sn(A))。用‖·‖表示Mn上任意的酉不變范數，即對于所有矩陣A ∈Mn和酉矩陣U，V ∈Mn，都有‖UAV‖ = ‖A‖ 成立。其中，兩類酉不變范數尤為重要。一類是Fan-范數‖·‖(k)，即

還有一類是Schatten p-范數，即

其中，p ≥1;tr 為跡函數;‖·‖(1)= ‖·‖∞為譜范數;‖·‖(n)= ‖·‖1為跡范數。設A = (aij)∈Mn，范數

稱為Hilbert-Schmidt 范數或Frobenius 范數。顯然Hilbert-Schmidt 范數是酉不變范數［1-2］。

文中將利用標量不等式和譜分解定理，得到矩陣酉不變范數的幾個不等式。

2 Hilbert-Schmidt 范數不等式

關于酉不變范數不等式的研究［1-8］由來已久。Bhatia Davis 在文獻［3］中得到如下結論:設A，B，X ∈Mn，且A，B 半正定，若0 ≤v ≤1，則

第二個不等式被稱為Heinz 不等式。

Kittaneh 在 文 獻［4］ 中， 得 到 一 個 在Hilbert-Schmidt 范數下Heinz 不等式的改進式

其中，r0= min{v，1 － v}。

ZOU 等在文獻［5］中證明了如下結論:

其中，s ∈R，且s ≠0，1。

文中給出關于‖AX + XB‖22 上界的兩個新估計式，首先給出幾個標量不等式。定理1 設a，b，t ∈R，s ＞0，則

證 令

則

證畢。

注 在t = 1，s ＞0 的條件下，定理1 推廣了文獻［5］中的引理。

定理2 設a，b，s，t ∈R，且st ＞0，

證 令

則

式(2)得證。類似方法，可以證明式(3)同樣也成立。證畢。

定理3 設A，B，X ∈Mn，A，B 半正定，若s，t ∈R，且s ＞0，s + t ≠0，則

證 因為A，B 是半正定矩陣，所以由譜分解定理［2］可知，存在酉矩陣U，V ∈Mn，使得A =UT1U*，B = VT2V*，其中

令 Y = U*XV = (yij)n×n，則

因此

同樣方法，有

由定理1，可得

故定理得證。證畢。

注 當s ＞0，t = 1 時，定理3 即為文獻［5］中的定理。

利用定理3 的證明方法，結合定理2 可得如下結論。

定理4 設A，B，X ∈Mn，A，B 為半正定矩陣，若s，t ∈R，且st ＞0，則

［1］Bhatia R.Matrix Analysis［M］.New York:Springer-Verlag，1997:91-95.

［2］詹興致.矩陣論［M］.北京:高等教育出版社，2008:54-56.

［3］Bhatia R，Davis C. More matrix forms of the arithmetic-geometric mean inequality［J］. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，1993，14(1):132-136.

［4］Kittaneh F，Manasrah Y. Improved Young and Heinz inequalities for matrices［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2010，361(9):262-269.

［5］ZOU Limin，JIANG Youyi. Inequalities for unitarily invariant norms［J］. Journal of Mathematical Inequalities，2012，6(2):279-287.

［6］Bhatia R，Kittaneh F.Notes on matrix arithmetic-geometric mean inequalities［J］.Linear Algebra and Its Applications，2000，308(1):203-211.

［7］HIAI F，ZHAN Xingzhi.Inequalities involving unitarily invariant norms and operator monotone functions［J］.Linear Algebra and Its Applications，2002，341(2):151-169.

［8］鄒黎敏.Heinz 均值凸性的一個注記［J］.浙江大學學報:理學版，2013，40(1):27-28.

ZOU Limin.A note on the convexity of the Heinz means［J］.Journal of Zhejiang University:Science Edition，2013，40(1):27-28.(in Chinese)