基于改進的Theil不等系數及IGOWC-OWHA算子的區間型組合預測模型

張 超， 袁宏俊

(安徽財經大學統計與應用數學學院，安徽蚌埠233030)

受Bates與Granger上世紀60年代第一次系統性的探究組合預測方法［1］的影響，組合預測方法的應用得到眾多相關學者的青睞，并取得了豐碩的研究成果［1-6］。但是大部分組合預測的方法都是局限于單點序列的預測，而在區間數組合預測方面較為少見。然而從實際考慮，很多數據通常以區間數的形式表現出來會顯得更為合理，因此將這些區間數進行組合預測具有重要的研究意義和價值。

關于區間數的組合預測研究是一個龐大的課題，不同研究者存在不同的研究角度。文獻［7-9］的方法只局限于離散區間數據的組合預測，而對于連續區間數據的預測并不適用，因此Yager于2004年通過一個態度參數將區間值集結成一個實數，構造出連續區間數有序加權平均(C-OWA)算子［10］;文獻［11］把 C-OWA算子拓展為 WC-OWA算子、OWC-OWA算子以及CC-OWA算子;文獻［12］綜合C-OWA算子與OWGA算子構造連續區間有序加權幾何平均(C-OWGA)算子;文獻［13］提供了連續區間數廣義有序加權平均(C-GOWA)算子;文獻［14］結合 IOWA算子與 C-GOWA算子構造出IOWC-GOWA算子;文獻［15］綜合IOWA算子和C-OWA算子，構造出一種誘導連續區間有序加權平均(IC-OWA)算子;文獻［16］綜合C-OWA算子與OWHA算子構造出連續區間有序加權調和平均(C-OWHA)算子，并在此基礎上提出了加權調和的C-OWHA(WHC-OWHA)算子、有序加權調和的C-OWHA(OWHC-OWHA)算子和組合的C-OWHA(CC-OWHA)算子。

受上述研究成果啟發，文中將IGOWA算子與C-OWHA算子加以綜合，構造出一種誘導廣義有序加權的C-OWHA(IGOWC-OWHA)算子，并研究其部分性質。選取改進的Theil不等系數作為相關性指標，建立新型組合預測模型，最后通過算例分析證實該方法在提高預測精度方面具有顯著效果。

1 基本定義

定義1［4］假設fw:Rn→R為n元函數，倘若

定義2［16］設［a，b］為區間數，稱

為連續區間數有序加權調和平均(C-OWHA)算子，其中Q(y):［0，1］→［0，1］為基本的單位區間單調(BUM)函數且滿足:Q(0)=0;Q(1)=1;當y1＞y2時，有Q(y1)≥Q(y2)。

定義3［16］給定基本單位區間單調(BUM)函數Q(y)，記

的態度參數。

由定義3及式(2)可得

定義4［6］假設〈v1，a1〉，〈v2，a2〉，…，〈vn，an〉為 n個二維數組，令

2 IGOWC-OWHA算子及其性質

盡管C-OWHA可以集結連續的區間數，可是C-OWHA算子僅局限于解決單一區間數據的集結問題，如果想要集結更多區間數據的信息，還需對C-OWHA算子予以擴展。

定義5 假定［ai，bi］是一組區間數，〈v1，［a1，b1］〉，〈v2，［a2，b2］〉，…，〈vn，［an，bn］〉是二維數組，設 g:Ω+→ R+，若

IGOWC-OWHA算子的特點在于:首先運用定義2中的C-OWHA算子集結每個區間［ai，bi］的全部數據，再將集結后的全部數據運用定義4的IGOWA算子集結。根據定義5不難證明以下性質［16］。由于篇幅有限，文章僅給出單調性證明過程。

定理1(單調性)對于任意的 i=1，…，n，若有ai≥a'i，bi≥ b'i則

證將式(5)兩側取以ex為底的對數，得

兩側對av-index(i)分別求導得

在上式中，由于

則

所以函數g關于av-index(i)單調遞增。同理可得，函數g亦關于bv-index(i)單調遞增。

由命題假設可知，ai≥ a'i，bi≥ b'i，得

又函數g均關于av-index(i)和bv-index(i)單調遞增，故

即

所以命題得證。

定理2(冪等性)對于任意的 i=1，…，n，若有［ai，bi］ = ［a，b］，則

定理3(介值性)若［ai，bi］(i=1，2，…，n)是任一區間數組，且0＜ai＜bi，則存在

定理4(置換不變性)設 π =(π(1)，π(2)，…，π(n))是(1，…，n)的任一置換，得到

3 基于改進的Theil不等系數的IGOWC-OWHA算子的區間組合預測模型

設某一區間時序的觀測值為xt=［at，bi］(t=1，2，…，N)，同時 xt也可等價表示成 xi= ［ct，ri］(t=1，2，…，N)，其中

分別記作區間數xt的中心與半徑，假定用于預測的單項方法有m種，且它們都應用到組合預測當中，設第i種方法在第t時點的單項預測值為=，)，同樣也可以等價成=)，i=1，2，…，m，t=1，2，…，N。wi是第 i種單項方法在組合預測中的權重

定義6 令

則稱vit為第i單項方法在第t時點的預測精度，vit∈［0，1］。將 vit當做預測值()的誘導變量，由此可以根據每一個vit以及與之相對應的構建m個二維數組，即〈vmt，［］〉。根據定義3 以及定義5 可推出如下幾個算式:令

其中，yt為實際區間值由C-OWHA算子生成的時刻實際集結值是由C-OWHA算子生成的各個單項方法各個時刻預測值的單項預測集成值為由IGOWC-OWHA算子生成的t時刻組合預測集成值;W=(w1，w2，…，wm)T是 m種單項方法在組合預測中的權向量，滿足，顯然 wi≥ 0，i=1，2，…，m;v-index(i)是 v1，v2，…，vn遵循由大到小的原則排列后序號為i的數的下標。

Theil不等系數常常被用來評價預測效率的優劣，為此文中將其作為相關性指標，對區間組合預測效率予以評價。

定義7［3］令

將 τ(Yt，)稱作實際值 yt(t=1，2，…，N)與組合預測值(t=1，2，…，N)間改進的Theil不等系數，τ(Yt)∈［0，∞)。τ(Yt)越低表明預測效率越高。

當實際值yt(t=1，2，…，N)等于組合預測值^yt(t=1，2，…，N)時，它們相應的 τ(Yt，)值將會是最低值，即τ(Yt)=0。又因為τ(Yt)是所有單項方法權重w1，w2，…，wm的函數，所以可表示成τ(w1，w2，…，wm)。故基于改進的 Theil不等系數及IGOWC-OWHA算子的最優組合預測模型如下所示:

該模型可借助LINGO軟件進行求解。

4 實例分析

出于檢驗IGOWC-OWHA算子的區間型組合預測模型是否有效的目標，文中直接采用文獻［7］的數據作為參考資料。但是文獻［7］只給出3種單項預測方法的預測數據，并沒有對這3種單一方法性質進行比較。所以，基于區間組合預測研究領域的局限性，文中無法給出3種單一方法性質的比較，將重點討論區間組合預測模型與3種單一模型預測精度的比較。

表1列出了區間實際數據和單項方法預測數據。

表1 區間實際數據和單項方法預測數據Tab.1 Interval actual data and individual method forecast data

依據式(7)計算得到各個單項方法在各個時間點的預測精度數據，如表2所示。

表2 預測精度數據Tab.2 Prediction accuracy of the data

由式(8)可以計算出實際區間值由C-OWHA算子所生成的t時刻實際集成值yt。由于yt中的態度參數θ由BUM函數Q(y)決定，所以為了便于比較，文中分別取Q1(y)=y2;Q2(y)=y3。則

表3給出由上述兩個態度參數計算得到的實際區間集成值。

表3 實際區間集成數據Tab.3 Integrated data of the actual interval

根據表2中的誘導變量及式(10)計算IGOWC-OWHA算子生成的組合預測集成值^yt，為了便于比較，分別取λ1=1，λ2=2，λ3=3，λ4=4，λ5=5這5個參數進行討論。共有10種情況，依次予以計算。

1)當θ=1/3時，以λ=2為例，計算過程如下:

將上述表達式與表3中的θ1=1/3時的實際區間數集成值代入到單目標最優模型式(12)中，再運用Lingo15軟件解得最優權重向量為

除此之外，當λ取1，3，4，5時，對應的最優權重向量分別為

2)當θ=1/4時，以λ=3為例，計算過程如下:

將上述表達式與表3中的θ2=1/4時的實際區間數集成值代入到單目標最優模型式(12)中，再運用Lingo15軟件解得最優權重向量為

除此之外，當λ取1，2，4，5時，對應的最優權重向量分別為

為了證明區間組合預測模型是否有效，可選取MSEP，MSEL，MSEI，MRIE 作為評價準則:

1)平均區間位置誤差平方和

2)平均區間長度誤差平方和

3)平均區間誤差平方和

4)平均相對區間誤差和

表4給出相應的分析結果。

表4 誤差指標Tab.4 Error indicators

觀察表4易知，基于 Theil不等系數及IGOWC-OWHA算子的區間型組合預測模型的MSEP，MSEI，MRIE都顯著小于各單項方法誤差指標值，雖然MSEL指標不夠顯著，但并不是最大的，因此該區間組合預測新方法至少是非劣性的。綜合來看，基于Theil不等系數及IGOWC-OWHA算子的區間型組合預測模型可以顯著提高預測精確度。

5 結語

大多數組合預測方法僅局限于離散區間數據的組合預測，但對于連續區間數據的組合預測較為少見。對連續區間數組合預測是一個全新的研究方向，文中提出一種更加有效的方法。文中引入IGOWA算子與C-OWHA算子結合，構造出誘導廣義有序加權的C-OWHA(IGOWC-OWHA)新型算子。由于該算子可以集結多個區間數據的信息，所以可以將其應用于連續區間數的組合預測中。利用IGOWC-OWHA算子，再結合改進的Theil不等系數作為相關性指標，構建區間型組合預測新模型，并經過算例驗證了其有效性，揭示出該方法在提高預測精度方面具有顯著效果。但是，文中考慮的θ和λ情況有限，是否存在某個θ值和λ值使預測效果更加精確還需要通過進一步研究。

［1］Bates J M，Granger C W J.The combination of forecasts［J］.Operational Research Society，1969，20(4):451-468.

［2］王應明.基于相關性的組合預測方法研究［J］.預測，2002，21(2):58-62.

WANG Yingming.Research on the methods of combining forecasts based on correlativity［J］.Forecasting，2002，21(2):58-62.(in Chinese)

［3］陳華友.基于Theil不等系數的組合預測模型的性質［J］.電子科技大學學報，2004，33(1):105-108.

CHEN Huayou.Properties of combination forecasting models based on theil coefficient［J］.Journal of UEST of China，2004，33(1):105-108.(in Chinese)

［4］陳華友，劉春林，盛昭瀚.IOWHA算子及其在組合預測中的應用［J］.中國管理科學，2004，12(5):35-40.

CHEN Huayou，LIU Chunlin，SHENG Zhaohan.Induced ordered weighted harmonic averaging(IOWHA)operator and its application to combination forecasting method［J］.Chinese Journal of Management Science，2004，12(5):35-40.(in Chinese)

［5］袁宏俊，陳華友，胡凌云.基于指數支撐度的最優組合預測模型及其性質研究［J］.應用概率統計，2012，28(2):150-160.

YUAN Hongjun，CHEN Huayou，HU Lingyun.Research on the optimal combination forecating model and its properties based on exponential supporting degree［J］.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2012，28(2):150-160.(in Chinese)

［6］楊蕾，陳華友，王宇.基于貼近度的誘導廣義OWA算子最優組合預測模型［J］.統計與決策，2013，377(5):24-26.

YANG Lei，CHEN Huayou，WANG Yu.The optimal combination forecating model based on closeness degree and induced generalized ordered weighted averaging(OWA)operator［J］.Statistics and Decision，2013，377(5):24-26.(in Chinese)

［7］徐惠利，吳柏林，江韶珊.區間時間序列預測精準度探討［J］.數量經濟技術經濟研究，2008，25(1):133-140.

XU Huili，WU Bolin，JIANG Shaoshan.On forecasting efficiency evaluation for interval time series［J］.The Journal of Quantitative and Technical Economics，2008，25(1):133-140.(in Chinese)

［8］陳華友，李翔，金磊，等.基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測方法［J］.統計與決策，2012，354(6):83-86.

CHEN Huayou，LI Xiang，JIN Lei，et al.The methods of interval combination forecasting based on the correlation coefficient and induced ordered weighted averaging(IOWA)operator［J］.Statistics and Decision，2012，354(6):83-86.(in Chinese)

［9］胡凌云，袁宏俊.基于左右端點的IOWGA算子的區間型組合預測模型［J］.統計與決策，2013，383(11):22-25.

HU Lingyun，YUAN Hongjun.The inlerval combination forecasting model based on the left-right endpoint and induced ordered weighted geometric averaging(IOWGA)operator［J］.Statistics and Decision，2013，383(11):22-25.(in Chinese)

［10］Yager R R.OWA aggregation over a continuous interval argument with applications to decision making［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part B，2004，34(5):1952-1963.

［11］徐澤水.拓展的C-OWA算子及其在不確定多屬性決策中的應用［J］.系統工程理論與實踐，2005，25(11):7-13.

XU Zeshui.Extended C-OWA operators and their use in uncertain multi-attribute decision making［J］.Systems Engineering-Theory and Practice，2005，25(11):7-13.(in Chinese)

［12］Yager R R，XU Z S.The continuous ordered weighted geometric operatorand its application to decision making［J］.Fuzzy Sets and Systems，2006，157(10):1393-1402.

［13］Yager R R.Generalized OWA aggregation operators［J］.Fuzzy Optimization and Decision Making ，2004，3(1):93-107.

［14］江立輝，陳華友，丁芳清，等.基于IOWC-GOWA算子的區間組合預測模型［J］.計算機工程與應用，2015，51(3):50-54.

JIANG Lihui，CHEN Huayou，DING Fangqing，et al.Combination forecasting model based on induced ordered weighted continuous generalized ordered weighted averaging operator［J］.Computer Engineering and Applications，2015，51(3):50-54.(in Chinese)

［15］周禮剛，陳華友，王曉，等.誘導連續區間有序加權平均算子及其在區間數群決策中的應用［J］.控制與決策，2010，25(2):179-184.

ZHOU Ligang，CHEN Huayou，WANG Xiao，et al.Induced continuous ordered weighted averaging operators and their applications ininterval group decision making［J］.Control and Decision，2010，25(2):179-184.(in Chinese)

［16］陳華友，劉金培，王慧.一類連續區間數據的有序加權調和(C-OWH)平均算子及其應用［J］.系統工程理論與實踐，2008，28(7):86-12.

CHEN Huayou，LIU Jinpei，WANG Hui.A class of continuous ordered weighted harmonic(C-O W H)averaging operators for interval argument and its applications［J］.Systems Engineering-Theory and Practice，2008，28(7):86-12.(in Chinese)