還原法在小學數學解題教學中的應用

李玉媛

我們在解決問題時通常是從已知條件出發，通過分析思考，找出解題的方法。然而，有的問題按照這種思路著手就比較困難，若從題目的已知量出發，利用已知條件倒著推理，就會迎刃而解，這種思考問題的方法通常稱為還原法或倒推法，其實質就是“倒過來推算”。但是還原法離不開還原圖，只有數形結合，還原法才會如虎添翼。下面結合具體的事例，談一談還原法在小學數學解題中是怎樣被靈活運用的，并且還原圖又是如何巧妙地滲透其中的。

一、 “單個對象”，按部就班

什么叫“單個對象”呢？本文的“單個對象”是指在一道完整的題目中，主語和總量有且只有一個，且主語的總量不管經過怎樣的變化，最終所求的對象還是這個主語的總量。例如，商店運來一批蘋果，第一天賣掉這批蘋果的一半，第二天賣掉第一天剩下的一半多10斤，第三天又賣掉第二天剩下的一半少5斤，這批蘋果還剩20斤，問這批蘋果原來有多少斤？

在這一題中，這批蘋果是主語，即上文所提到的“單個對象”，不管賣多少天以后，最后的問題還是求這批蘋果原來的斤數。像這類題型，一般要借助流程圖或還原圖或倒推圖，可以根據學生的身心特征和解題需要，作不同的圖形。下面介紹兩種方法，一種是流程圖的畫法，如下：

首先作流程圖很簡單，即題目怎么說就怎么畫，“這批蘋果”和“每次賣剩下的蘋果斤數”用方框來表示，然后從結果出發往前倒推，變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘，一直推算出第一個方框的得數，即這批蘋果原來的斤數。但是在作這個圖時，學生常常易犯兩個錯誤：一是題目中的“多10斤”及“少5斤”在流程圖中到底是加還是減，小學生往往會有看到“多”就用加法，看到“少”就用減法的錯誤定向思維，此時一定要讓他們理解流程圖中每個方框所表示的意思。第一個方框表示“這批蘋果的總斤數”，這個學生很容易理解，特別要注意的是第二個方框與第三個方框的意思，它們表示的是每次賣完剩下的斤數，讓學生思考“賣的越多剩的就越少”，當學生理解了這句話后就不容易犯錯了。“多賣10斤”就“少剩10斤”，在圖上應該標“-10”，同理“少賣5斤”當然就“多剩5斤”，即“+5”。二是作完圖后計算時容易出錯。他們常常會這樣做：“20-5×2=30，30+10×2=80，80×2=160”，我們不妨仔細看一下學生做題的過程，加減乘除在一起時，運算順序被學生忽視了，他們列出的等式缺少括號，上述等式根本就是不成立的。為了防止出錯，在這里一定要強調混合運算的順序，不然就引導學生一步步地計算。

另一種是借助線段來作還原圖或倒推圖，如下：

與第一種方法相比，第二種方法的作圖稍顯復雜，但兩種方法的實質是一樣的，都是從后往前倒推，而且第二種方法呈現了蘋果售出的整個變化過程，一目了然。隨著學生身心年齡的變化，兩種作圖方法都需要掌握。同樣，學生在用這種方法解題時也常會犯兩個錯誤。第一，作圖時每條線段所對應的具體數據容易混亂。這就要求學生在一開始作圖時，及時標上數據，每條線段都要對應無誤，而且每次都要畫出“剩下的蘋果斤數”所對應的線段長度，以便計算方便。第二，計算出的結果不知道代表什么數據，最終不知所云。其實這種錯誤歸根結底還是由于在作圖時沒有理清數據，沒有理解每條線段所代表的含義。因此，作圖時一要理清數據，二要注意及時做數據標識。

二、 “多個對象”，靈活運用

根據上文所提及的“單個對象”，不難理解“多個對象”的意思，簡單地說就是，多個主語同時在發生變化，而且總量不止一個，所求的對象可能不止一個，也可能只求多個主語之一。例如，有48只麻雀停在三棵樹上，不久6只麻雀從第一棵樹上飛到第二棵樹上，又有8只從第二棵樹上飛到第三棵樹上，這時，三棵樹上的麻雀只數都相等。問三棵樹上原來各停了多少只麻雀？

很明顯，這道題中主語有三個，即三棵樹上的麻雀數量，而且這三棵樹上的麻雀數量都在變化，最終結果是三棵樹上的麻雀只數相等，求這三棵樹上原來的麻雀數量。這種“多個對象”的還原應用題涉及多個量之間的關系，學生開始接觸時不知道從何入手，所以我們要引導學生理清數量關系，倒著推理即可。一般解題示意圖可以如下：

由此圖我們不難發現，這一題是從“三棵樹上的麻雀只數都相等”這句話往前推的，此時三棵樹上的麻雀只數都是16只。其次，“又有8只從第二棵樹上飛到第三棵樹上”，則第三棵樹上原來有8只，第二棵樹上原來有24只。最后，“不久6只麻雀從第一棵樹上飛到第二棵樹上”，那么最初第二棵樹上應有18只，第一棵樹上應有22。所以，三棵樹上原來的麻雀只數分別為22只、18只及8只。解題時學生需要注意兩點：一是借助示意圖從最后一句話倒著推理;二是計算時想著“求的是原來的只數”，那么現在的只數必須要還原，即“得到的必須減去，失去的必須加上”。

三、 “不同對象”，確定核心

顧名思義，“不同對象”就是應用題中的主語不止一個，但是與“多個對象”的題型又有什么區別呢？下面結合例題來解析。例如，商店運來一筐蘋果，連筐重102千克，上午賣掉這筐蘋果的一半后，下午又賣掉剩下的一半，此時連筐還重27千克，問這筐蘋果原來重多少千克？筐重多少千克？

初看時這道題目有點像上述“單個對象”的題型，這也是眾多學生易犯錯的地方。有的學生不管三七二十一，一看題目就畫方框流程圖，結果全部錯誤。仔細思考一下這里的主語是“蘋果的重量加上筐的重量”，而賣的是蘋果，筐可是不賣的，筐的重量一直都不變。很明顯也不像“多個對象”的題型，那么又該怎么思考呢？下面介紹常用的兩種方法。

一是將這筐蘋果看成未知量，先求筐的重量。解法示意圖如下：

由圖可以看出，既然一筐蘋果原來的重量不知道，筐又不能拆分開賣，且又不知道剩下的蘋果重量，題目中的條件都跟蘋果的筐有關系，每次又是對半賣出去的，那么我們就按照剩下的蘋果斤數和一個筐的重量，即（3），將這筐蘋果平均分成4份，并且每一部分都添上一個筐的重量，即（1），這樣就很容易算出（1）是（3）的4倍，即1筐蘋果的重量加上4個筐的重量是108千克，再與條件“1筐蘋果的重量加上1個筐的重量是102千克”比較，就很容易求出一個筐的重量是2千克。

二是將這筐蘋果看成未知量，先求這筐蘋果的重量。由于一筐蘋果連筐重102千克，剩下的連筐重27千克，那么賣掉的就是75千克，而賣掉的蘋果正好是這筐蘋果的3/4，很容易就求出這筐蘋果的重量。這種借助份數或者比例來還原的方法在小學數學解題中也經常用到。

“授人以魚，不如授人以漁”，教會學生解題的方法，領略解題的過程，不僅是新課改的要求，也是21世紀人才發展的需要。還原法既符合小學生的順向思維，又符合小學生的直觀思維，是小學數學解題的靈丹妙藥。這類題目所要求的一般都是不斷變化的主語的原來數量，但要區分類型，對癥下藥。同時，適當的作圖也很重要，作圖是為了輔助做題，不需要用直尺作得那么精確，那么完美，只需要草圖，當然必須清楚且有條理，注意畫圖過程中的細節，養成良好的習慣。

（責編 羅 艷）endprint