不斷驗證 豐富推理

韋芳潔+王金發

以不完全歸納推理為主要形式得出的猜想是一種合情推理，是我們發現新事物、探究新策略的有效途徑，但這種推理是一種似真推理。為了提高猜想的合理性，我們在應用這種不完全歸納推理時，應當注意盡量多地考察被歸納的對象，被考察的對象越多、范圍越廣，結論的可靠性就越大。如果有可能，我們還可以采用其他論證手段加以證明。對此，近期再次執教“分數的基本性質”一課，感悟特別深刻，現整理如下與大家分享。

教學案例：

一、巧設習題，復習鋪墊

12÷3=（ ）÷9 60÷15=12÷（ ）

192÷16=（ ）÷4 （ ）÷23=276÷46

二、故事引入，設疑激趣

師：同學們，今天老師給大家講一個唐僧師徒西天取經路上的小故事。“一天，唐僧拿出三個大小一樣的餅分給徒弟們吃，他先把第一個餅平均分成了2塊，分給豬八戒1塊;把第二個餅平均分成了4塊，分給孫悟空2塊;把第三個餅平均分成了8塊，分給沙和尚4塊。豬八戒一看，不高興了，說唐僧師傅偏心，他得到的餅最少。”請問是這樣嗎？豬八戒、孫悟空、沙僧分別得到了一個餅的幾分之幾？

生：豬八戒、孫悟空、沙僧分別得到了一個餅的 、 和 。

師：唐僧的三個徒弟誰分到的餅最多呢？

（學生的答案不一）

三、動手操作，提出猜想

師：唐僧的三個徒弟誰分到的餅最多？讓我們一起動手來分分看。

1.折紙感知

師：我們每位同學手上都有三張大小相同的圓片，我們用圓片紙來代替餅折一折，看看唐僧是怎樣分餅的。

出示操作要求：（1）請用折紙的方法分別表示出唐僧三次是怎樣分餅的;（2）請在折好的圓片紙上分別用陰影部分表示出唐僧分給豬八戒、孫悟空、沙僧的餅。

（通過折紙、涂色等活動，引導學生初步感知 、 和 這三個分數是相等的，即 = = ）

2.觀察發現

師：請同學們觀察一下這三個分數，分子和分母都不相同，它們之間有著怎樣的關系呢？請與小組里的同學討論。

多媒體出示討論要求：（1）從左往右看，分子和分母是按照怎樣的規律變化的？（2）從右往左看，分子和分母又是按照怎樣的規律變化的？

3.大膽猜想

師：我們發現分數的分子、分母同時乘2或乘4，分數的大小都不變;反過來，分數的分子、分母同時除以2或除以4，分數的大小也不變。那么，這種規律在其他分數中也存在嗎？

生：存在。

師：這只是同學們的猜想，如果要確定我們的猜想是否正確，我們還需要進行驗證！

四、多維驗證，豐富猜想

1.數圖印證，直觀為憑

師（多媒體出示下圖）：請用畫圖的方法表示出相等的分數。

師：通過畫圖、寫分數，你又發現了什么？

生： = ， = 。

師：誰能告訴大家，在這兩個等式中，從左往右，分子和分母是怎樣變化的？反過來，從右往左看呢？

2.舉例擴充，計算驗證

師：還能再舉出一些這樣的例子嗎？

生： = 、 = ……

師：你是怎樣驗證它們是相等的？

生1：我是通過畫圖來驗證的。

生2：我是用計算器把分數化成小數來驗證的。

……

五、初步歸納，發現規律

師：觀察剛才同學們所列舉的分數，你能不能用自己的話說一說，從這些例子中發現的變化規律？

學生歸納總結出結論：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數，分數的大小不變。

（這里師引導學生注意加入“0除外”）

【說明：教學至此，有不少教師可能就此罷手，進入新知鞏固階段。但我認為，教學到這里還不足以說明問題，為此我再次引入商不變的性質，讓學生進行驗證。】

六、演繹推理，深層驗證

師：同學們，我們課前復習了商不變的性質，上節課也剛剛學習了分數與除法的關系，你能不能利用這兩個知識對我們剛剛發現的這個規律進行再次驗證呢？

（給學生充分交流、討論的時間）

生3：因為分子相當于被除數，分母相當于除數，分數線相當于除號，所以我們可以把分數看成除法。如 和 ，就是2÷3和6÷9，根據商不變的性質，可以知道2÷3=6÷9，所以 = 。

師：現在我們可以肯定剛才的推理是正確的，即“分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變”，這就是分數的基本性質。

……

反思：

以不完全歸納推理為主要形式得出的猜想是科學探究的催化劑，這樣的猜想往往意味著創新和發現。法國數學家拉普拉斯說過：“甚至在數學里發現真理的主要工具也是歸納和類比。”數學家高斯也說過：“一旦抓住真理，補充證明僅僅是時間問題。”由此，可以知道歸納推理對于發現真理的重要性。

但是，在實際教學中，教師往往忽視這種歸納推理的不足，只是簡單地列舉幾個例子后，就引導學生草草得出結論，忽視了讓學生經歷這種科學探究的過程，而這種過程和體驗又恰恰是學生缺乏的一種科學的、嚴謹的探究精神。對此，教師要緊緊抓住機會，讓學生的驗證和猜想經歷多層次、多角度的探究。更重要的是，教師應利用分數與除法的關系以及商不變的性質引導學生再次驗證，讓他們再次對剛才由不完全歸納推理總結出的分數的基本性質進行有效的邏輯論證，從而提升驗證的層次，使學生體會到演繹推理是數學中更為嚴密的論證方法。這樣的推理驗證，能科學、合理、有力地驗證猜想，豐富推理的過程，使學生完成認知建構。

（責編 杜 華）endprint