以“形”助明理 以“理”促提升

鐘莉

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，其中“數(shù)”是“形”的抽象概括，“形”是“數(shù)”的直觀表現(xiàn)。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。”這里形象、生動(dòng)地說(shuō)明了“數(shù)”與“形”的關(guān)系，明確、深刻地揭示了數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值。下面以“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”一課教學(xué)為例，談?wù)勅绾魏侠怼⒂行У貞?yīng)用數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)展教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究所學(xué)知識(shí)，使他們真正獲得發(fā)展。

一、以“數(shù)”化“形”，在新知疑惑處嘗試

小學(xué)生的抽象邏輯思維能力不強(qiáng)，遇到新學(xué)或較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，難免會(huì)出現(xiàn)疑惑、困頓。這時(shí)，如果能把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為直觀的“形”，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，有效地幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

教學(xué)片斷1：畫(huà)圖研究■÷2，大膽嘗試算法。

例題：把一張紙的■平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？

（學(xué)生列式為■÷2，一部分學(xué)生直接報(bào)出結(jié)果為■）

師：你們是怎樣算出來(lái)的？

生1：我想，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)就是分子乘整數(shù)，分母不變，那■÷2就用分子4除以2，分母不變，得到■。

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)我們還沒(méi)有學(xué)。除了計(jì)算，你還有沒(méi)有其他方法獲到結(jié)果？

（學(xué)生想到畫(huà)圖的方法，猜想算法，如下）

■

畫(huà)法（1）： 畫(huà)法（2）：

生2：從畫(huà)法（1）中可以看出，■里面有4個(gè)■，平均分成2份，每份就有2個(gè)■，即■，所以用■（分子除以整數(shù)，分母不變）就可以算出結(jié)果是■（如圖A）。

■

圖A 圖B

生3：從畫(huà)法（2）中可以看出，最后涂色部分占整張紙的■，化簡(jiǎn)后為■。我發(fā)現(xiàn)把■平均分成2份，每份就是■的■，■的■可以用乘法■×■計(jì)算，所以■÷2=■×■，結(jié)果也是■（如圖B）。

……

對(duì)于■÷2這道新的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算題，部分學(xué)生能憑直覺(jué)和前面所學(xué)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，猜出結(jié)果是■。然而，對(duì)“■是怎樣算出來(lái)的”“為什么這樣計(jì)算”等問(wèn)題，學(xué)生的認(rèn)識(shí)是混沌的。通過(guò)畫(huà)圖，還原題目的原始形態(tài)，既是研究分?jǐn)?shù)問(wèn)題的重要途徑，又是嘗試算法的直觀依據(jù)。其中，畫(huà)法（1）特別形象直觀，一眼就可以看出每份有2個(gè)■。課堂教學(xué)中，教師借助多媒體課件，可以形象地演示畫(huà)法（2）中把■平均分成2份的動(dòng)態(tài)過(guò)程，直觀呈現(xiàn)“每份是■的■”，并引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的乘法來(lái)計(jì)算，為他們理解算理與掌握算法打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

二、以“形”明“理”，在探究交流中體驗(yàn)

“數(shù)學(xué)思想的形成需要在過(guò)程中實(shí)現(xiàn)，只有經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，才能體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的作用，才能理解數(shù)學(xué)思想的精髓，才能進(jìn)行知識(shí)的有效遷移。”因此，在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的感悟與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累不能依賴教師簡(jiǎn)單的說(shuō)教，而要通過(guò)創(chuàng)設(shè)適合的情境、設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題和活動(dòng)，讓學(xué)生自己親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取過(guò)程，使他們深刻感悟其中的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)片斷2：結(jié)合圖形計(jì)算■÷3和■÷4，明晰算理。

師：嘗試用這兩種算法計(jì)算■÷3。

生1：用第一種方法計(jì)算，分母不變，分子4除以3除不盡;用第二種方法計(jì)算，■÷3=■×■=■。

師：看來(lái)，第一種算法存在一定的局限性。那第二種算法對(duì)不對(duì)呢？

生2（出示右圖）：可以畫(huà)圖檢驗(yàn)。把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成7份，取其中的4份涂色，就表示這個(gè)長(zhǎng)方形的■;把■像這樣橫著再平均分成3份，取其中的1份涂色，這一份就是■的■，■的■可以用■×■來(lái)計(jì)算，從圖中可以看出每份是這張紙的■。

師：畫(huà)圖研究■÷4，思考怎樣計(jì)算，并說(shuō)一說(shuō)為什么這樣計(jì)算。

生3（出示右圖）：先在長(zhǎng)方形中表示出它的■，再把■平均分成4份，取其中的1份涂色，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)這一份就是■的■，可以用乘法■×■計(jì)算，所以■÷4=■×■=■。從圖中也可以看出，最后涂色的部分就是這張紙的■。

……

計(jì)算教學(xué)不是簡(jiǎn)單的技能訓(xùn)練，數(shù)的運(yùn)算之間存在內(nèi)在的聯(lián)系與嚴(yán)密的邏輯性，學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算就是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的過(guò)程。因此，計(jì)算教學(xué)一定要達(dá)到“明算理，會(huì)計(jì)算”的雙重目標(biāo)，僅通過(guò)教師空洞的說(shuō)理與枯燥的計(jì)算訓(xùn)練是達(dá)不到的。有了前面嘗試用數(shù)形結(jié)合的方法研究計(jì)算■÷2的經(jīng)驗(yàn)，在計(jì)算■÷3和■÷4這兩道題時(shí)，學(xué)生主動(dòng)找“形”來(lái)幫忙，利用畫(huà)圖來(lái)理解算式的含義，自主探索計(jì)算方法。通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖、課件的動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷探尋算理、算法的過(guò)程，為學(xué)生深入理解算理、切實(shí)掌握算法提供了有力支撐，使學(xué)生在探究交流中體驗(yàn)到利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)。

三、以“數(shù)”概“形”，在歸納推理中領(lǐng)悟

“形”具有形象直觀的優(yōu)勢(shì)，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達(dá)的劣勢(shì)。只有以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描述、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力，使學(xué)生更準(zhǔn)確地把握“形”。特別是計(jì)算教學(xué)，必須引導(dǎo)學(xué)生從直觀分析中抽象、概括出正確的結(jié)論，才能真正提高學(xué)生的計(jì)算水平，促進(jìn)學(xué)生形象思維能力與邏輯思維能力的協(xié)調(diào)發(fā)展。

教學(xué)片斷3：數(shù)形結(jié)合，歸納推理，總結(jié)一般方法。

（回顧探究過(guò)程，再次出示前面研究的三幅圖，如下）

■

■

師：你能想象一幅圖，再舉一個(gè)這樣的例子嗎？如果把A平均分成B份呢？

生1：每份就是A的■，即A÷B=A×■（B≠0）。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：除以一個(gè)整數(shù)（0除外）等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

……

學(xué)生雖然經(jīng)歷了以“形”助“數(shù)”的研究過(guò)程，但還只停留在對(duì)具體、特殊實(shí)例的理解與認(rèn)識(shí)上。上述教學(xué)，讓學(xué)生在觀察、比較、想象、推理、歸納等活動(dòng)中，自主總結(jié)出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法，結(jié)論A÷B=A×■（B≠0）更是對(duì)前面直觀形象的探究的抽象概括。至此，學(xué)生的學(xué)習(xí)已從研究具體算式上升為推廣總結(jié)一般普遍的方法，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的跨越。

四、“數(shù)”“形”對(duì)應(yīng)，在反思總結(jié)中提升

數(shù)學(xué)思想方法的感悟與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累離不開(kāi)總結(jié)反思的過(guò)程，寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)只有經(jīng)過(guò)概括、內(nèi)化、提升，才能有效成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生命發(fā)展的內(nèi)在支撐。因此，數(shù)學(xué)課堂中的歸納總結(jié)不僅要關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極反思、提煉學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)用的方法，以提升對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析、解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)片斷4：回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，提升對(duì)思想方法的認(rèn)識(shí)。

（師結(jié)合板書(shū)，引領(lǐng)學(xué)生回顧“舉例→猜想→驗(yàn)證→歸納”的研究過(guò)程）

師：這節(jié)課，我們主要采用什么方法來(lái)研究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法？

生：畫(huà)圖。

師：研究數(shù)的問(wèn)題，可以找圖形來(lái)幫忙，這種借助直觀圖形來(lái)理解算式含義的方法，是數(shù)學(xué)上非常重要的研究方法，叫數(shù)形結(jié)合。這節(jié)課，我們不僅發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法，還親身經(jīng)歷了有價(jià)值的學(xué)習(xí)過(guò)程，收獲了數(shù)形結(jié)合等寶貴的數(shù)學(xué)思想方法。

……

整節(jié)課，教師大量運(yùn)用幾何直觀，在探究算理的過(guò)程中，每道題都運(yùn)用畫(huà)圖的方法來(lái)解決，每次計(jì)算都結(jié)合圖形來(lái)明確算理，使學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)依托于具體的實(shí)例研究。將“數(shù)”與“形”一一對(duì)應(yīng)的板書(shū)，既可以幫助學(xué)生形象理解算理，牢記算法，提升計(jì)算能力，又是對(duì)本節(jié)課數(shù)形結(jié)合思想方法的直觀再現(xiàn)，給學(xué)生形成了強(qiáng)烈的視覺(jué)記憶。課堂教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)知識(shí)的同時(shí)，通過(guò)更高層次的反思、抽象、概括，使學(xué)生將所學(xué)內(nèi)化為自身的學(xué)習(xí)方法與經(jīng)驗(yàn)。

總之，教師要善于挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)里蘊(yùn)藏的數(shù)形結(jié)合思想，設(shè)計(jì)有價(jià)值的探究活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，形成對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻感悟。久而久之，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)運(yùn)用類似的經(jīng)驗(yàn)積極應(yīng)對(duì)新問(wèn)題，逐步發(fā)展成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方式，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)其長(zhǎng)足發(fā)展。

（責(zé)編 杜 華）endprint