回溯“基點” 展開過程

倪志敏

《數學課程標準》指出：“在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。”這里指出，在數學教學中，教師要給學生提供有效的思維線索，讓學生經歷知識的產生、發展過程，從而深入理解所學知識，獲得更具啟示意義的思維靈感。由此，我認為，要發展“四基”教學，必須注重過程與結果的和諧統一。下面，我結合“用字母表示數”一課的教學來談談自己粗淺的看法。

“用字母表示數”是“代數學”的一個基本特點。從用數字表示數到用字母表示一定范圍內的任意一個數，從用數字算式表示具體的數量關系到用含有字母的式子表示一般的數量關系，反映了人的思維從特殊到一般、從具體到抽象的飛躍。由于提高了學生抽象思維能力的要求，所以從學生的知識層面上來說，本課教學無疑顯得格外重要。

一、尋根溯源，探尋字母教學的“基點”

表示數的符號叫做數字，且我們早已習慣用0、1、2……這些阿拉伯數字來表示數。有了這些數字和十進制計數法，就可以表示出任何一個自然數，以及數概念擴展后的其他的數。那我們為什么還要學習用字母表示數呢？仔細閱讀教材后，我發現教材以小棒圍圖形為素材，直接類推出用含有字母的式子表示小棒的根數，但關于用字母表示數的可行性，教材中沒有一字說明。

“一個數學教師究竟應該有什么樣的數學功底，對數學知識有什么樣的思想認識……什么樣的數學教師才能使學生懂得并追求嚴謹科學的規律或要求呢……要注重對數學的原理、道理、科學方法、智慧思考的發掘，并將這些貫穿于數學教學的始終，使學生從數學中獲取盡可能多、盡可能大的思想力量。”于是，我決定尋根溯源。查閱一至三年級教材后，我發現教材在編排上對于這一知識做到了早期蘊伏、逐步滲透。如一年級“求未知數”一課中的7+（ ）=10，二年級“用乘法口訣求商”中的□×8=56，三年級用字母表示長方形和正方形的面積計算公式，四年級上冊用字母表示運算律……至此，我心中的疑惑終于得到了解釋，原來教材中的這些蘊伏、滲透，除讓學生逐步感受到數字外，還可以用某種圖形或符號表示參與運算的數。既然字母也是一種符號，為什么不能用字母來表示數呢？基于以上對各冊教材的解讀，我在教學“用字母表示數”時設計如下。

教學片斷1：

（1）回憶用數字表示數。

師（出示）：這表示多少？

師（再出示）：這表示多少？

師（小結）：看來，同學們早就學會了用0、1、2……9這些阿拉伯數字來表示數。

（2）回憶用圖形或某種特殊的符號表示數。

師[出示7+（ ）=10、△+△=10]：在一二年級，我們還見過這樣的式子，這里的括號中填幾？這里的三角形符號中填幾？你是怎么知道的？

師（小結）：你們看，圖形或某種特殊的符號（括號）也可以表示數。

（3）回憶用字母表示數。

師（出示“算24點”的6、7、A、10）：那你們知道字母可以表示數嗎？這里的A表示1。

師（總結）：我們不僅可以用數字、圖形或某種特殊的符號來表示數，還可以用字母來表示數。今天這節課，我們就一起來研究用字母表示數。

……

思考：我循著知識的“基點”，從低年級的認數到求括號里的未知數和圖形所表示的數再到用撲克牌算24點，揭開了教材中早期蘊伏、逐步滲透的用字母表示數的內容的層層面紗，讓學生在熟悉的場景中喚起記憶，明白用數字、圖形、符號、字母都可以表示數。

二、抽絲剝繭，展現字母教學的過程

教材中的例1教學用含有字母的式子表示倍數關系，例2教學用含有字母的式子表示相差關系。由此可見，“用字母表示數”一課應當建立在學生已經理解了四則運算意義的基礎上進行教學的。但是，還有一些細節始終縈繞在我的心頭：第一，a個三角形是教材中出現的，這是一個已知量和未知量的問題，已知的可以用一個具體的數來表示，未知的用什么表示是不是可以由學生“創造”，而不需要書本“代勞”呢？第二，a在這里代表的是什么數，教學中是一帶而過，還是引導學生細細品味？第三，例2不僅教學用字母表示數，而且讓學生體會用字母表示一個具體的數時，含有字母的式子就有一個確定的值，這里還蘊伏著用字母表示數從概括到具體的認識過程，該如何引導學生探究呢？因此，例題的教學看似簡單，實則盤根錯節，在實際教學中很容易“眉毛胡子一把抓”，陷入“剪不斷，理還亂”的境地。基于以上三個問題的思考，我決定依據“用什么字母表示數”“用字母表示什么樣的數”“字母是否能像數一樣進行四則運算”三個問題板塊進行教學。

教學片斷2：

（1）用26個字母表示一個數。

師（出示一個儲蓄罐）：老師這兒有一個儲蓄罐，里面放了一些1元錢，請你們猜一猜里面放了多少錢？（學生猜測）

師：你們能確定儲蓄罐里究竟有多少錢嗎？（不能）那我們該怎樣表示儲蓄罐里的錢數呢？

師：對你們而言，這里面有多少錢根本不知道，不適合用一個具體的數來表示，在這種情況下就需要用到字母來表示。剛才這位同學用字母n來表示，還可以用別的字母來表示嗎？（生答略）

師：也就是說，26個英文字母，用哪一個表示都可以。儲蓄罐里的錢數，就選用其中的一個字母n來表示。

（2）用一個字母表示任意一個數。

①師：那么，這個n究竟代表多少錢呢？有辦法確認嗎？

師（把儲蓄罐里的錢倒出來，數出一共有5元錢）：此時此刻，n表示幾？我們就說n=5。

②師再往儲蓄罐里放進2元錢。

師：此時此刻，n等于幾？

③師把儲蓄罐里的錢全部倒出來，只放進5角錢。

師：此時此刻，n等于幾？0.5還可以寫成分數，所以n=。看來，字母可以表示整數、小數、分數等。

（3）用含有字母的式子表示數和數量關系。

①加法。

師（課件出示一個儲蓄罐）：這里面有多少錢？老師也想到了用字母（x）表示數。

師（課件播放往儲蓄罐里再放入3元錢）：你看到了什么？

師邊說邊出示：儲蓄罐里原有x元錢，又放入3元錢，現在一共有（ ）元錢。

師：你能列出一個式子嗎？

②減法。

師（課件出示里面有x元錢的儲蓄罐，播放動畫，掉出2元錢）：你看到了什么？

師邊說邊出示：儲蓄罐里原有x元錢，拿走2元錢，現在還剩（ ）元錢。

③乘法。

師邊說邊出示：2個儲蓄罐（分別標明里面有x元）里一共有（ ）元，5個這樣的儲蓄罐里一共有（ ）元錢。

④除法。

師（課件出示里面有x元錢的儲蓄罐）：捐給災區的4個同學，平均每個同學能分到（ ）元錢。

師（小結）：我們不知道x是多少元錢，但是我們可以讓x與這些數進行加、減、乘、除，寫出含有字母的式子。所以，含有字母的式子也可以表示數。

……

思考：通過猜儲蓄罐里有多少錢，讓學生發現未知量用哪一個具體的數表示都不合適，可以用26個字母中的任何一個字母來表示；再把儲蓄罐里的錢倒出來數或放入5角錢，向學生揭示字母可以表示整數、分數、小數等，使學生明確了字母可以表示的范圍。在第三個問題板塊中，仍然以一個不知道多少錢的儲蓄罐為“引子”，既延續前兩個問題板塊的情境，又巧妙地利用低年級圖文結合解決問題的形式，讓學生感受到字母不僅和數一樣可以進行加減乘除運算，而且能組成含有字母的式子，明白含有字母的式子也可以表示數，實現了學生思想上的一次新的飛躍。

三、深入淺出，實現過程和結果的和諧統一

“用字母表示數”這節課的知識難點不易于學生理解：用字母既可以表示數，也可以表示數量關系；用字母表示的數有時是概括的（變量），有時又是具體的（常量）；用字母表示數具有簡潔性……所有這些知識難點都蘊含在教材中，但未被一一點明。在教學中，我們只有深入淺出，才能將學生的思維推向一個新的高潮。

教學片斷3：

出示： 小明的年齡 小明爸爸的年齡

a a+30

師：從這個字母和含有字母的式子中，你能看出小明和他爸爸年齡之間的關系嗎？（生答略）

師（小結）：小明和他爸爸之間的年齡關系，可以從這個字母和含有字母的式子中能清楚地看出。

師：當a=1時，是什么意思？那么，這時小明的爸爸多少歲？你是怎樣算的？當a=4時呢？當a=10時呢？那么，a還可以等于多少歲？那時小明的爸爸多少歲？（學生舉例略）

師（強調）：在這里，a一般表示100以內的自然數，當然也有特殊情況。

師：10與a都表示小明的年齡，那10與a又有什么不同呢？（生討論交流）

師（小結）：10只表示小明的一個年齡，a可以表示小明所有可能的年齡。可見，用字母表示是多么的簡潔！同樣，10+30表示什么呢？a+30呢？

師（總結）：用字母可以表示數，這個數可以是變化中的數。用含有字母的式子也可以表示變化中的數，還能表示數量之間的關系。

……

思考：“講授數學知識應強調通過邏輯鏈條以及由淺入深的認知路徑，以承前啟后的方式將數學新知識揭示給學生，這樣才符合學生數學學習的特點，才能發揮數學知識的智慧作用。”首先，通過比較10與a、10+30與a+30之間的不同，我有意識地將學生的思維推向縱深：用一個字母能表示小明所有可能的年齡，用一個含有字母的式子也能表示小明爸爸所有可能的年齡，以“一”代表“所有”，不僅體現了用字母表示數的簡潔性，而且能從含有字母的式子中看出數量之間的關系。其次，字母與含有字母的式子在一定程度上和常數一樣能互相比較、互相運算，這就是它們之間的聯系。這樣教學，利于讓學生體驗到字母表示數的現實性、優越性，辨析常量與變量的區別和聯系。

小學生學習數學，一般都是有意義的學習，對于前人積累的數學基礎知識必須積極思考，理解每個符號、式子所代表的實際含義，才能真正將所學內化成自己的知識。因此，教師在教學中要盡可能地回溯知識“基點”，展開過程，讓學生經歷數學知識產生、形成和發展的過程，在豐富教學價值的同時，實現過程與結果的和諧統一。

（責編 杜 華）endprint